Module projectif

Un article de Wikipédia, l'encyclopédie libre.
Aller à : navigation, rechercher
image illustrant les mathématiques
Cet article est une ébauche concernant les mathématiques.

Vous pouvez partager vos connaissances en l’améliorant (comment ?) selon les recommandations des projets correspondants.

En mathématiques, un module projectif est un module P (à gauche par exemple) sur un anneau A tel que pour tout morphisme surjectif f : NM entre deux A-modules (à gauche) et pour tout morphisme g : PM, il existe un morphisme h : PN tel que g = fh, c'est-à-dire tel que le diagramme suivant commute :

Projective module.png

Autrement dit : P est projectif si pour tout module N, tout morphisme de P vers un quotient de N se factorise par N.

Propriétés[modifier | modifier le code]

Rang[modifier | modifier le code]

Pour tout module projectif de type fini P sur un anneau commutatif A, le rang du Ap-module libre Pp est appelé le rang de P en p, et P est dit de rang n si son rang en tout p vaut n[6].

Notes et références[modifier | modifier le code]

Notes[modifier | modifier le code]

  1. (en) Daniel Quillen, « Projective modules over polynomial rings », Invent. Math., vol. 36, no 1,‎ , p. 167-171 (DOI 10.1007/BF01390008)
  2. Daniel Ferrand, « Les modules projectifs de type fini sur un anneau de polynômes sur un corps sont libres », Séminaire Bourbaki, vol. 18, no 484,‎ , p. 202-221 (lire en ligne)
  3. (en) Tsit Yuen Lam, Serre's Problem on Projective Modules, Springer, , 414 p. (ISBN 978-3-540-23317-6), p. 334 et Chap. V, Cor. 4.10
  4. (en) Hyman Bass, « Big projective modules are free », Illinois J. Math., vol. 7, no 1,‎ , p. 24-3, Corollary 4.5 (lire en ligne)
  5. (en) Irving Kaplansky, « Projective modules », Annals of Mathematics, vol. 68,‎ , p. 372-377
  6. (en) N. Bourbaki, Commutative Algebra: Chapters 1-7, Springer, (ISBN 9783540642398, lire en ligne), p. 111-112, chap. II, § 5.3

Référence[modifier | modifier le code]

Articles connexes[modifier | modifier le code]