Théorie d'Iwasawa

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La théorie d'Iwasawa peut être vue comme une tentative d'étendre les résultats arithmétiques classiques sur les corps de nombres (extensions finies du corps des rationnels) à des extensions infinies de , par des procédés de passage à la limite des extensions finies vers les extensions infinies.

Généralités[modifier | modifier le code]

Les objets de base de la théorie d'Iwasawa sont les -extensions ; c'est-à-dire des extensions galoisiennes dont le groupe de Galois est le groupe profini , pour un nombre premier fixé. Par la correspondance de Galois, la donnée d'une -extension est équivalente à celle d'une tour d'extensions telle que chaque est galoisienne sur de groupe de Galois .

  • Pour chaque corps de nombres, une -extension particulière peut-être construite par adjonction de racines -ièmes de l'unité : la -extension cyclotomique.
  • Sous la conjecture de Leopoldt, un corps de nombres admet -extensions linéairement indépendantes, où est le nombre de couples de plongements complexes conjugués du corps considéré ; ce qui peut encore s'énoncer en disant que le compositum de toutes ces extensions a pour groupe de Galois .

Théorème fondamental[modifier | modifier le code]

Le théorème fondateur de la théorie, dû à Iwasawa, porte sur le comportement du groupe des classes le long d'une -extension. Soit un nombre premier, un corps de nombres, et une -extension de . Pour chaque , on s'intéresse au cardinal du -Sylow du groupe des classes de  ; notons le . Alors, il existe des entiers , (positifs), (de signe quelconque), tels que pour assez grand, on ait :

Idée de la démonstration[modifier | modifier le code]

Notons A(Kn) le p-Sylow du groupe des classes du corps Kn. Par la théorie du corps de classes, il existe une extension Ln de Kn tel que  : Ln est la p-extension abélienne non ramifiée maximale de Kn. L'union des corps Ln fournit alors un corps L, qui est la pro-p- extension abélienne non ramifiée maximale de .

On considère alors le groupe de Galois  :

  • X est la limite projective des groupes , qui apparaissent comme des quotients de X.
  • X en tant que pro-p-groupe abélien a une structure naturelle de -module.
  • Par ailleurs, le groupe de Galois de l'extension cyclotomique agit sur X, dont on peut montrer qu'il est ainsi muni d'une structure de -module, c'est-à-dire de module d'Iwasawa.

L'investigation de la structure des modules d'Iwasawa relève de l'algèbre linéaire. Connaissant leur classification à pseudo-isomorphisme près, et ayant calculé par quel sous-groupe on quotiente X pour obtenir , on peut en déduire l'estimation asymptotique du cardinal de ces groupes, qui fournit la formule annoncée sur A(Kn).

Quelques résultats et conjectures[modifier | modifier le code]

Développements[modifier | modifier le code]

Le développement des idées d'Iwasawa peut se faire selon plusieurs axes :

  • on considère le comportement le long des étages d'une -extension d'autres objets que le groupe de classes, notamment du groupe de Mordell-Weil d'une courbe elliptique. On parle de théorie d'Iwasawa des courbes elliptiques.
  • on considère le comportement des objets arithmétiques non plus le long d'une -extension, mais dans des extensions infinies ayant d'autres groupes de Galois : par exemple , ou plus généralement un groupe analytique p-adique. Se développe ainsi une théorie d'Iwasawa non commutative, notamment sous l'impulsion de John Coates.

Notes et références[modifier | modifier le code]

Notes[modifier | modifier le code]

  1. (en) B. Mazur et A. Wiles, « Class fields of abelian extensions of Q », Inventiones Mathematicae, vol. 76, no 2,‎ , p. 179–330 (lire en ligne)
  2. (en) A. Wiles, « The Iwasawa Conjecture for Totally Real Fields », Annals of Mathematics, vol. 131, no 3,‎ , p. 493–540 (DOI 10.2307/1971468)
  3. (en) K. Rubin, « The "main conjectures" of Iwasawa theory for imaginary quadratic fields », Inventiones Mathematicae, vol. 103, no 1,‎ , p. 25–68 (DOI 10.1007/BF01239508)
  4. (en) C. Skinner et É. Urban, The Iwasawa main conjectures for GL2, preprint (2010).

Références[modifier | modifier le code]