Théorème de Riemann-Roch

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En mathématiques, le théorème de Riemann-Roch est un résultat de géométrie algébrique. Originalement, il répond au problème de la recherche de l'existence de fonctions méromorphes sur une surface de Riemann S donnée, sous la contrainte de pôles de multiplicité imposée en certains points. Par exemple, sous sa forme faible, le théorème énonce que pour m points donnés, l'espace (vectoriel) des fonctions méromorphes sur S ayant au plus un pôle du premier ordre en ces points et holomorphes ailleurs est de dimension finie sur C plus grande que m-g+1, où g est le genre de la surface.

Soit S une courbe algébrique projective non singulière sur un corps k. Pour tout point (fermé) x\in S et pour toute fonction rationnelle f sur S, notons v_x(f) l'ordre de f en x: c'est l'ordre du zéro de f en x si elle est régulière et s'annule en x; il est nul si f est régulière et inversible en x ; et c'est l'opposé de l'ordre du pôle de f si x est un pôle de f. Soit D=\sum_i a_i[x_i] un diviseur sur S et soit \Delta un diviseur canonique (c'est-à-dire associé à une forme différentielle). Si l'on appelle l(D) la dimension du k-espace vectoriel formé des fonctions rationnelles sur S telles que v_{x_i}(f)\geq -a_i pour tout i, alors on a :

Théorème de Riemann-Roch — 
l(D)-l(\Delta-D)=\deg(D)+1-g,

g est le genre de la courbe S, défini comme étant l(\Delta). Ce théorème peut être interprété comme un calcul de caractéristique d'Euler-Poincaré pour cette situation[1]. Il en existe de nombreuses démonstrations et généralisations.

Note[modifier | modifier le code]

  1. Daniel Perrin, Géométrie algébrique. Une introduction [détail des éditions]

Articles connexes[modifier | modifier le code]