Théorème de Riemann-Roch

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En mathématiques, le théorème de Riemann-Roch est un résultat de géométrie algébrique. Originellement, il répond au problème de la recherche de l'existence de fonctions méromorphes sur une surface de Riemann donnée, sous la contrainte de pôles de multiplicité imposée en certains points. Par exemple, sous sa forme faible, le théorème énonce que pour points donnés, l'espace (vectoriel) des fonctions méromorphes sur ayant au plus un pôle du premier ordre en ces points et holomorphes ailleurs est de dimension finie sur C plus grande que , où est le genre de la surface.

Soit une courbe algébrique projective non singulière sur un corps . Pour tout point (fermé) et pour toute fonction rationnelle sur , notons l'ordre de en : c'est l'ordre du zéro de en si elle est régulière et s'annule en ; il est nul si est régulière et inversible en  ; et c'est l'opposé de l'ordre du pôle de si est un pôle de . Soit un diviseur sur et soit un diviseur canonique (c'est-à-dire associé à une forme différentielle). Si l'on appelle la dimension du -espace vectoriel formé des fonctions rationnelles sur telles que pour tout , alors on a :

Théorème de Riemann-Roch — 

est le genre de la courbe , défini comme étant . Ce théorème peut être interprété comme un calcul de caractéristique d'Euler-Poincaré pour cette situation[1]. Il en existe de nombreuses démonstrations et généralisations.

Note[modifier | modifier le code]

  1. Daniel Perrin, Géométrie algébrique. Une introduction [détail des éditions]

Articles connexes[modifier | modifier le code]