Groupe d'homotopie

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En mathématiques, et plus particulièrement en topologie algébrique, les groupes d'homotopie sont des invariants qui généralisent la notion de groupe fondamental aux dimensions supérieures.

Définition[modifier | modifier le code]

Il y a plusieurs définitions équivalentes possibles.

Première définition

Soit X un espace topologique et un point de X. Soit la boule unité de dimension i de l'espace euclidien . Son bord est la sphère unité de dimension .

Le i-ième groupe d'homotopie supérieur est l'ensemble des classes d'homotopie relative à d'applications continues telle que : .

Un élément de est donc représenté par une fonction continue de la i-boule vers X, qui envoie la -sphère vers le point de référence , la fonction étant définie modulo homotopie relative à .

Deuxième définition

En identifiant le bord de la boule à un point , on obtient une sphère et chaque élément de se définit par les classes d'homotopie des applications par lesquelles le point base de la sphère se transforme en . On peut dire que les éléments du groupe sont les composantes connexes de l'espace topologique des applications pour lesquelles on a : .

Produit sur l'ensemble des classes d'homotopie[modifier | modifier le code]

Pour définir une opération sur les classes d'homotopie, il est utile d'identifier la boule avec le cube de dimension i dans ℝi.

La définition du produit est la suivante : La somme de deux applications du cube est l'application définie par la formule :

et

Lorsque l'on passe aux classes d'homotopie, la loi de composition obtenue est associative, unifère, tout élément admet un inverse et la loi est commutative si i ≥ 2.

On définit donc un groupe commutatif si i ≥ 2 (cf. Argument de Eckmann-Hilton (en)).

On obtient le groupe fondamental si i = 1.

Propriétés et outils[modifier | modifier le code]

Groupes d'homotopie relatifs et suite exacte longue d'homotopie d'un couple[modifier | modifier le code]

On a une généralisation des groupes d'homotopie.

Soient X un espace topologique, AX et x un point de X.

Soient Ir = [0, 1]r et Jr = (∂Ir-1 × I) ∪ (Ir-1 × {1}) = ∂Ir \ int(Ir-1 × {0}).

Le r-ième groupe d'homotopie relatif est l'ensemble des classes d'homotopie d'applications continues telles que : , , , avec des homotopies de même forme.

  • donc les groupes d'homotopie sont des cas particuliers des groupes d'homotopie relatifs.
  • De même que pour les groupes d'homotopie, on définit un groupe commutatif si r > 2.
  • On a une suite exacte longue :
    i et j sont les inclusions et d provient de la restriction de à .

Suite exacte longue d'homotopie d'une fibration[modifier | modifier le code]

Soit p : EB une fibration de fibre F ; si B est connexe par arcs, alors on a une suite exacte longue d'homotopie :

.

Homologie et homotopie : le théorème d'Hurewicz[modifier | modifier le code]

Pour un espace topologique X, on a deux familles de groupes associés à X : les groupes d'homotopie (relatifs) notés et les groupes d'homologie singulière (relatifs) notés . Les groupes d'homologie sont plus faciles à calculer que les groupes d'homotopie, et on s'interroge sur le lien entre ces deux familles de groupes.

On a un morphisme de groupes naturel .

Si sont connexes par arcs et si le couple (X, A) est n-1-connexe pour alors :

  • d'une part le théorème d'Hurewicz relatif affirme que (i<n) et que le morphisme de Hurewicz est un épimorphisme dont le noyau est engendré par les éléments avec et  ; en particulier, si , alors est un isomorphisme ;
  • d'autre part le théorème d'Hurewicz absolu (A=*) affirme que si X est n-1-connexe, , on a (i<n) et que le morphisme de Hurewicz est un isomorphisme.

Pour n = 1, voir « Théorème d'Hurewicz ».

Le théorème de Whitehead pour les CW-complexes (complexes cellulaires)[modifier | modifier le code]

Articles détaillés : Théorème de Whitehead et CW-complexe.

Théorèmes de périodicité de Bott[modifier | modifier le code]

Espaces asphériques, espaces d'Eilenberg MacLane et théorie de l'obstruction[modifier | modifier le code]

Un espace est dit asphérique ou un K(π, 1) si ses groupes d'homotopies sont triviaux sauf son π1.

Méthodes de calcul[modifier | modifier le code]

Contrairement au groupe fondamental (i = 1) et aux groupes d'homologie et de cohomologie, il n'y a pas de méthode simple de calcul des groupes d'homotopie dès que i ≥ 2 (il manque un analogue des théorèmes d'excision et de Van-Kampen).

Groupes d'homotopie des sphères[modifier | modifier le code]

Article détaillé : Groupes d'homotopie des sphères.

Cas des groupes de Lie[modifier | modifier le code]

Le groupe fondamental d'un groupe de Lie, ou plus généralement d'un H-espace (en), est commutatif et l'action du π1 sur les πi est triviale.

Voir aussi[modifier | modifier le code]

Articles connexes[modifier | modifier le code]

Bibliographie[modifier | modifier le code]