Loi de réciprocité quadratique

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En mathématiques, en particulier en théorie des nombres, la loi de réciprocité quadratique, établit des liens entre les nombres premiers ; plus précisément, elle décrit la possibilité d'exprimer un nombre premier comme un carré, à un multiple près d'un autre nombre premier. Conjecturée par Euler et explicitée par Legendre, elle a été correctement démontrée pour la première fois par Gauss en 1801. Elle est considérée comme un des théorèmes les plus importants de la théorie des nombres, et a de nombreuses généralisations.

Énoncés[modifier | modifier le code]

L'énoncé complet de Gauss comporte trois assertions : le « théorème fondamental » pour deux nombres premiers impairs et deux « lois complémentaires ». Une notion essentielle est celle de résidu quadratique : un nombre entier n est un résidu quadratique modulo un entier m , si n est un carré, à un multiple de m près, autrement dit si l'équation n =x2+m y a une solution (x, y ) en entiers.

Premier énoncé[modifier | modifier le code]

Théorème fondamental.

Étant donné des nombres premiers distincts p et q impairs, la loi de réciprocité quadratique énonce que :

  • si au moins l'un des nombres p et q est congru à 1 modulo 4, alors p est un résidu quadratique modulo q si et seulement si q est un résidu quadratique modulo p. Plus explicitement : l'équation d'inconnue x :
x^2\equiv p \pmod{q}
a une solution si et seulement si l'équation d'inconnue y :
y^2\equiv q \pmod{p}
a une solution (les deux solutions sont en général différentes).
  • si p et q sont congrus à 3 modulo 4, alors p est un résidu quadratique modulo q si et seulement si q n'est pas un résidu quadratique modulo p. Plus explicitement : l'équation d'inconnue x :
x^2\equiv p \pmod{q}
a une solution si et seulement si l'équation d'inconnue y :
y^2\equiv q \pmod{p}
n'a pas de solution.
Première loi complémentaire.
  • -1 est un résidu quadratique modulo p si et seulement si p est congru à 1 modulo 4.
Deuxième loi complémentaire.
  • 2 est un résidu quadratique modulo p si et seulement si p est congru à 1 ou -1 modulo 8.

Symbole de Legendre[modifier | modifier le code]

En utilisant le symbole de Legendre, ces trois énoncés peuvent être résumés respectivement par :

Théorème fondamental.
 \left(\frac{p}{q}\right) \left(\frac{q}{p}\right) = (-1)^{\frac{(p-1)(q-1)}{4}}.
Première loi complémentaire.
\left(\frac{-1}p\right)=(-1)^{\frac{p-1}2}
.
Deuxième loi complémentaire.
\left(\frac2p\right)=(-1)^{\frac{p^2-1}8}.

Exemples[modifier | modifier le code]

Avec des nombres premiers[modifier | modifier le code]

Par exemple, si p vaut 11 et q vaut 19 :

le théorème fondamental permet de ramener le calcul de \left(\frac{11}{19}\right) à celui de  -\left(\frac{19}{11}\right), qui est égal à -\left(\frac{-3}{11}\right) (puisque 19\equiv-3\pmod{11}) ;
la première loi complémentaire donne \left(\frac{-1}{11}\right)=-1, ce qui (par multiplicativité du symbole de Legendre) permet de remplacer -\left(\frac{-3}{11}\right) par \left(\frac3{11}\right) ;
en utilisant à nouveau le théorème fondamental, \left(\frac3{11}\right)=-\left(\frac{11}3\right)=-\left(\frac23\right) ;
la deuxième loi complémentaire permet de conclure, car -\left(\frac23\right)=-(-1)=1.

Conclusion : le résultat étant 1, on en déduit que 11 est résidu quadratique modulo 19. D'ailleurs, on le vérifie immédiatement : 7^2 =49=38+11 \equiv 11 \pmod{19}

Cas général[modifier | modifier le code]

Déterminons si 219 est un carré modulo 383. la multiplicativité du symbole de Legendre montre que :

\left(\frac{219}{383}\right)= \left(\frac{3}{383}\right)\left(\frac{73}{383}\right)

Une première application du théorème fondamental montre que :

\left(\frac{219}{383}\right)= -\left(\frac{383}{3}\right)\left(\frac{383}{73}\right)

En appliquant encore le théorème fondamental et la multiplicativité du symbole de Legendre, puis les deux lois complémentaires, on obtient :

\left(\frac{219}{383}\right)=-\left(\frac{-1}{3}\right)\left(\frac{18}{73}\right) = -\left(\frac{-1}{3}\right) \left(\frac{2}{73}\right) \left(\frac{9}{73}\right) = \left(\frac{2}{73}\right)=(-1)^{\left(\frac{73^2-1}{8}\right)}=(-1)^{666}=1

Outil de démonstration[modifier | modifier le code]

Si p est un nombre premier, 5 est-il un carré modulo p ? La loi de réciprocité quadratique nous permet d'affirmer que cela arrive lorsque p est lui-même un carré modulo 5, c'est-à-dire quand p\equiv \pm 1 \pmod{5}

Démonstrations de la loi de réciprocité quadratique[modifier | modifier le code]

Dans un livre publié en 2000, Franz Lemmermeyer (de) expose l'histoire mathématique des lois de réciprocité en couvrant leurs développements et rassemble des citations de la littérature pour 196 différentes démonstrations[1] de cette loi de réciprocité quadratique.

Les premières démonstrations aujourd'hui considérées comme complètes sont publiées par Gauss dans ses Disquisitiones arithmeticae en 1801. Gauss disposait des preuves dès 1796 (à l'âge de 19 ans). La première de ces preuves repose sur un raisonnement par récurrence. Dans sa correspondance avec son élève Gotthold Eisenstein, Gauss qualifie cette première preuve de laborieuse[2]. Ses troisième et cinquième preuves reposent sur le lemme de Gauss, qu'il démontra à cette occasion[1].

Ces deux lois sont aussi conséquences directes du lemme de Gauss.

Généralisations[modifier | modifier le code]

Il existe des lois de réciprocité cubique, biquadratique (en) (c'est-à-dire de degré 4) et ainsi de suite. Cependant la véritable généralisation de toutes ces lois, généralisation monumentale, est la théorie des corps de classes.

Notes et références[modifier | modifier le code]

  1. a et b (en) F. Lemmermeyer, Proofs of the Quadratic Reciprocity Law
  2. (en) Reinhard Laubenbacher et David Pengelley, Gauß, Eisenstein, and the "third" proof of the Quadratic Reciprocity Theorem: Ein kleines Schauspiel
  3. T. J. Stieltjes, Sur le caractère quadratique du nombre 2 dans Annales de la Faculté des Sciences de Toulouse 1re série, tome 11, no 1, 1897, p. 5-8 pdf