Loi de réciprocité quadratique

Carl Friedrich Gauss est le premier à établir une preuve rigoureuse de la loi de réciprocité quadratique, publiée dans ses Disquisitiones Arithmeticae en 1801. Il en donnera au total huit démonstrations.

En mathématiques, en particulier en théorie des nombres, la loi de réciprocité quadratique est un théorème établissant un lien entre des propriétés de deux nombres premiers donnés. Plus précisément, étant donnés deux nombres premiers $p$ et $q$, elle donne une relation entre le nombre de solutions de l'équation $x^{2}=p$ modulo $q$ et le nombre de solutions de l'équation $x^{2}=q$ modulo $p$. Conjecturée par Euler et reformulée par Legendre, elle a été correctement démontrée pour la première fois par Gauss en 1796, qui la nomme alors son « théorème doré ». La loi de réciprocité quadratique est souvent présentée comme le résultat le plus important de la théorie des nombres du XVIII^e siècle.

La théorie des résidus quadratiques s'intéresse principalement à deux problèmes, réciproques l'un de l'autre. Le premier consiste, étant donné un nombre premier p, à déterminer, parmi les entiers, lesquels sont congrus à des carrés modulo p et lesquels ne le sont pas. Le second est le problème inverse. Étant donné un entier n, on cherche à déterminer, parmi les nombres premiers, modulo lesquels n est congru à un carré et modulo lesquels il ne l'est pas. Le premier de ces deux problèmes peut se résoudre par des méthodes élémentaires, et la loi de réciprocité quadratique permet d'y ramener le second.

Plus précisément, associée à la division euclidienne, la loi de réciprocité quadratique permet de donner un algorithme qui, étant donné un entier $n$ et un nombre premier $p$, détermine si $n$ est congru ou non à un carré modulo $p$. En d'autres termes, elle donne une méthode de calcul des résidus quadratiques. Cet algorithme est plus efficace que la méthode naïve.

Dès les travaux de Gauss, la loi de réciprocité quadratique a donné lieu à de nombreuses généralisations, parfois très profondes. Celles-ci sont généralement connues sous le nom de lois de réciprocité (en). Les lois de réciprocité quartique (en), d'Eisenstein (en), de Kummer, de Hilbert et d'Artin en sont des exemples.

Histoire

Premières ébauches d'un énoncé

La question de la réciprocité quadratique a d'abord été étudiée par Leonhard Euler, lors de sa résolution de trois conjectures posées par Pierre de Fermat sur la représentation des nombres premiers comme des combinaisons de carrés. Dans une lettre à Mersenne de 1640, puis dans une lettre à Pascal en 1653 et dans une lettre à Digby en 1658, Fermat annonce avoir démontré, pour tout nombre premier impair $p$, les trois résultats suivants

${\begin{cases}\left(\exists (x,y)\in \mathbb {N} ^{2},\quad p=x^{2}+y^{2}\right)&\iff p\equiv 1{\pmod {4}},\\\left(\exists (x,y)\in \mathbb {N} ^{2},\quad p=x^{2}+2y^{2}\right)&\iff p\equiv 1{\text{ ou }}3{\pmod {8}},\\\left(\exists (x,y)\in \mathbb {N} ^{2},\quad p=x^{2}+3y^{2}\right)&\iff p=3{\text{ ou }}p\equiv 1{\pmod {3}}.\\\end{cases}}$

Leonhard Euler est le premier à donner un énoncé précis de la loi de réciprocité quadratique, publié en 1783.

Le premier de ces résultats n'est autre que le théorème des deux carrés. Fermat ne donne pas de preuves pour ces énoncés, qu'il annonce pourtant démontrés. Introduit aux travaux de Fermat par Goldbach et découvrant ces « théorèmes », Euler décide d'en faire la preuve. Il y parvient entre 1747 et 1749 pour le théorème des deux carrés, puis finalement en 1772 pour les deux derniers énoncés.

La preuve d'Euler se scinde en deux grandes étapes, l'une dite de « descente » et l'autre dite de « réciprocité ». Afin d'étudier l'écriture d'un nombre premier impair $p$ sous la forme $p=x^{2}+ny^{2}$ pour n'importe quel entier $n$ fixé, Euler est poussé à essayer de généraliser ces deux étapes. L'étape de « descente » consiste à démontrer par descente infinie que si $p$ divise $x^{2}+ny^{2}$, alors $p=x^{2}+ny^{2}$. Ceci fonctionne au moins lorsque $n$ est égal à $1$, $2$ ou $3$, mais n'est pas vrai lorsque $n$ est égal à $5$. L'étape de « réciprocité » consiste quant à elle à caractériser la relation de divisibilité $p\mid x^{2}+ny^{2}$ par une condition de divisibilité sur $p$. Lorsque $n$ est égal à $1$, la condition est ainsi donnée par $4\mid p-1$.

C'est en étudiant la généralisation de l'étape de « réciprocité » qu'Euler conjecture la loi de réciprocité quadratique. Il parvient en effet à caractériser la relation $p\mid x^{2}+ny^{2}$, lorsque $x$ et $y$ sont premiers entre eux, par le fait que $-n$ soit congru ou non à un carré modulo $p$. Inverser cette propriété en une propriété de résiduité de $p$ modulo $n$ lui donnerait alors la condition recherchée.

La loi de réciprocité quadratique n'est pas tout de suite énoncée et identifiée comme telle par Euler, mais est reconstituable à partir des annotations éparses de ses travaux de 1744. Ceci pousse Kronecker à estimer en 1875 qu'Euler est le premier à donner un énoncé complet de la loi de réciprocité quadratique. Euler introduit notamment le terme de

« résidu quadratique » en 1751, pour caractériser les entiers congrus à un carré parfait modulo un nombre premier fixé, et démontre le critère d'Euler. Il conjecture plusieurs caractérisations de la résiduité de $n$ modulo un nombre premier $p$ en fonction de propriétés de congruence sur $p$, notamment pour $n$ égal à $\pm 3$, $\pm 5$, $\pm 7$ et pour $n$ égal à $6$, qui est composé. Il énonce par exemple sans en donner la démonstration que $7$ est congru à un carré modulo $p$ si et seulement si $p$ est congru à $\pm 1$, $\pm 3$ ou $\pm 9$ modulo $28$.

Entre 1773 et 1775, Joseph-Louis Lagrange introduit et développe dans son mémoire Recherches d’arithmétique la notion de forme quadratique, qui permet de généraliser l'étape de « descente » des preuves d'Euler. Cherchant à appliquer ses résultats dans un contexte arithmétique, il s'intéresse aux problèmes posés par Fermat et Euler. Il parvient notamment à caractériser la résiduité de $\pm 2$, $\pm 3$ et $\pm 5$ modulo un nombre premier $p$, ne parvenant qu'à des résultats partiels pour $\pm 7$. Les travaux de Lagrange poussent Euler à s'intéresser à nouveau à la question des résidus quadratiques. Dans un article publié en 1783 après sa mort, il donne une formulation complète de la loi de réciprocité quadratique, ce qui fait d'Euler le premier à en établir un énoncé précis. Il n'est cependant pas capable d'en donner la preuve.

La tentative de démonstration de Legendre

Adrien-Marie Legendre pense être parvenu à établir une démonstration de la loi de réciprocité quadratique en 1785, qui se révèlera incomplète.

Malgré les travaux d'Euler le précédent de quelques années, Adrien-Marie Legendre est souvent considéré comme étant le premier à donner un énoncé moderne de la loi de réciprocité quadratique. Il est en tout cas le premier à lui donner le nom sous laquelle elle est connue aujourd'hui, préférant notamment le terme de loi à celui de théorème. Dans l'article IV de son mémoire Recherches d'Analyse Indéterminée publié en 1785, il annonce en effet en utilisant le critère d'Euler que

« $c$ & $d$ étant deux nombres premiers, les expressions $c^{\frac {d-1}{2}}$, $d^{\frac {c-1}{2}}$ ne feront de différents signes que lorsque $c$ & $d$ seront tous deux de la forme $4n-1$ ; dans tous les autres cas, ces expressions auront toujours le même signe. »

Le symbole de Legendre ${\textstyle \left({\frac {n}{p}}\right)}$, caractérisant les résidus quadratiques, n'est introduit qu'en 1798 dans son Essai sur la Théorie des Nombres, suivi de l'énoncé de la réciprocité quadratique dans sa forme moderne. L'énoncé de 1785, tout comme celui de 1798, est accompagné d'une preuve, estimée valide par Legendre. Pourtant, comme l'identifieront plusieurs de ses contemporains, celle-ci est au mieux incomplète, voire circulaire. En effet, celle-ci se base implicitement sur le théorème de la progression arithmétique, qui ne sera démontré qu'en 1837 par Dirichlet, et partiellement sur la loi de réciprocité quadratique elle-même.

Legendre a d'ailleurs lui même conscience de supposer un résultat qu'il ne parvient pas à démontrer. En clôture de son mémoire de 1785, il fait la remarque qu'« il serait peut-être nécessaire de démontrer rigoureusement une chose que nous avons supposée dans plusieurs endroits de cet article, savoir, qu'il y a une infinité de nombres premiers compris dans toute progression arithmétique, dont le premier terme et la raison sont premiers entre eux. » et, après avoir esquissé une preuve, ajoute « je me contente d'indiquer ce moyen de démonstration qu'il serait trop long de détailler d'autant plus que ce Mémoire passe déjà les bornes ordinaires. ». D'après Roger Cuculière, « on pourrait appeler vulgairement « le coup de Fermat » » cette remarque conclusive.

Gauss et ses huit démonstrations

Ce n'est qu'en 1796 que Carl Friedrich Gauss parvient à donner une preuve complète et valide de la loi de réciprocité quadratique, publiée en 1801 dans ses Disquisitiones arithmeticae. À la recherche de démonstrations pouvant se généraliser dans le cas de résidus de puissances supérieures au carré, Gauss explore de nombreuses preuves distinctes de la loi de réciprocité, et en exhibera au total huit différentes entre 1796 et 1808 .

Gauss commence ses travaux en arithmétique en 1795, alors qu'il est âgé de dix-huit ans. Il n'a à ce moment qu'une connaissance très limité des résultats de ses contemporains et de ses prédécesseurs. C'est dans ce contexte qu'il redécouvre par induction (c'est-à-dire à partir d'observations) l'énoncé de la loi de réciprocité quadratique, après avoir redémontré le critère d'Euler. Selon ses dires, ce n'est qu'après être parvenu à la démontrer qu'il prend connaissance des travaux récents de Legendre sur le sujet.

La démonstration de Legendre est tout de même présentée et analysée par Gauss dans ses Disquisitiones arithmeticae. Il remarque que la preuve s'appuie sur le théorème de la progression arithmétique, alors non démontré. Plus précisément, la démonstration de Legendre repose sur l'existence d'un nombre premier auxiliaire $q$. Ceci est assuré par le résultat suivant, nommé Lemme de Legendre par Franz Lemmermeyer et que Legendre ne parvient à justifier.

Lemme de Legendre — Pour tout nombre premier $p\equiv 1{\pmod {4}}$, il existe un nombre premier $q\equiv 3{\pmod {4}}$ tel que le symbole de Legendre $\left({\frac {p}{q}}\right)$ est égal à $-1$.

Gauss remarque que pour démontrer ce lemme, le théorème de la progression arithmétique seul n'est pas suffisant, et que l'utilisation de la loi de réciprocité quadratique elle-même permet de conclure, donnant une preuve circulaire. Plusieurs mathématiciens sont depuis parvenu à compléter la preuve de Legendre, de manière rigoureuse et parfois élémentaire. Devant les critiques émises contre sa démonstration, Legendre inclut finalement en 1830 la troisième preuve de Gauss à la troisième édition de son Essai sur la Théorie des Nombres, en plus de la sienne.

Dans ses Disquisitiones arithmeticae, Gauss expose les deux premières preuves connues de la réciprocité quadratique. La première preuve de ce que Gauss appelle le « théorème fondamental » est élémentaire et se fonde sur le principe de récurrence. Elle est jugée par de nombreux mathématiciens dont Gauss lui-même comme particulièrement inélégante. Utilisant le symbole de Legendre, Dirichlet parvient cependant à en donner une présentation plus digeste. La seconde preuve présente dans les Disquisitiones arithmeticae se fonde sur l'extension de la théorie des formes quadratiques de Lagrange.

Énoncés

L'énoncé complet de Gauss comporte trois assertions : le « théorème fondamental » pour deux nombres premiers impairs et deux « lois complémentaires ».

Premier énoncé

Théorème fondamental

Loi principale — Soit $p$ et $q$ deux nombres premiers impairs.

Le nombre $p$ est congru à un carré modulo $q$ si et seulement si $q$ est congru à un carré modulo $p$, sauf dans le cas où $p$ et $q$ sont tous les deux congrus à $3$ modulo $4$. Dans ce cas, $p$ est congru à un carré modulo $q$ si et seulement si $q$ n'est pas congru à un carré modulo $p$.

Lois complémentaires

La première loi complémentaire caractérise la résiduité de $-1$ modulo un nombre premier impair.

Première loi complémentaire — Pour tout nombre premier impair $p$, $-1$ est congru à un carré modulo $p$ si et seulement si $p$ est congru à $1$ modulo $4$.

La seconde loi complémentaire caractérise la résiduité de $2$ modulo un nombre premier impair.

Seconde loi complémentaire — Pour tout nombre premier impair $p$, $2$ est congru à un carré modulo $p$ si et seulement si $p$ est congru à $\pm 1$ modulo $8$.

Symbole de Legendre

Soit $p$ un nombre premier. Le symbole de Legendre est la fonction notée ${\textstyle \left({\frac {\cdot }{p}}\right)}$ et définie pour tout $a\in \mathbb {Z}$ par

$\left({\frac {a}{p}}\right)={\begin{cases}0&{\text{si }}a{\text{ est un multiple de }}p,\\1&{\text{si }}a{\text{ n'est pas un multiple de }}p{\text{ et est un résidu quadratique modulo }}p,\\-1&{\text{si }}a{\text{ n'est pas un multiple de }}p{\text{ ni un résidu quadratique modulo }}p,\end{cases}}$

Pour rappel, $a$ est un résidu quadratique modulo $p$, s'il existe $m$ de $\mathbb {Z}$ tel que $a$ soit congru à $m^{2}$ modulo $p$.

On peut reformuler les trois énoncés de la loi de réciprocité quadratique avec le symbole de Legendre.

Loi de réciprocité quadratique — Soit $p$ et $q$ deux nombres premiers impairs.

1. $\left({\frac {p}{q}}\right)\left({\frac {q}{p}}\right)=(-1)^{\frac {(p-1)(q-1)}{4}}$,
2. $\left({\frac {-1}{p}}\right)=(-1)^{\frac {p-1}{2}}$,
3. $\left({\frac {2}{p}}\right)=(-1)^{\frac {p^{2}-1}{8}}$.

Si la première loi complémentaire est effectivement une loi de réciprocité, la seconde loi complémentaire ne l'est pas. En effet, avec la notation de Legendre, la première loi complémentaire peut se reformuler comme

$\left({p \over -1}\right)\left({-1 \over p}\right)=(-1)^{(p-1)(-1-1) \over 4}$,

c'est-à-dire que $-1$ se comporte effectivement comme un nombre premier vis-à-vis de la loi de réciprocité quadratique. Il n'en est pas de même du nombre $2$, dont la résiduité modulo p est simplement caractérisée par la seconde loi complémentaire. La loi de réciprocité est essentiellement un théorème concernant les nombres impairs en général, et c'est de fait à ces nombres qu'elle se généralise directement, par le symbole de Jacobi, puis par celui de Kronecker.

Pour deux nombres premiers impairs $p$ et q, le symbole de Legendre permet de caractériser le nombre de solutions de l'équation $x^{2}=p$ modulo $q$, puisque

$\vert \lbrace x\in \mathbb {Z} /q\mathbb {Z} \mid x^{2}=p\rbrace \vert =1+\left({\frac {p}{q}}\right)$.

La loi principale de la réciprocité quadratique est finalement équivalente à l'énoncé suivant.

Théorème — Soit $p$ et $q$ deux nombres premiers impairs.

Le nombre de solution de l'équation $x^{2}=p$ modulo $q$ est égal au nombre de solution de l'équation $x^{2}=q$ modulo $p$, sauf dans le cas où $p$ et $q$ sont tous deux congrus à $1$ modulo $4$. Dans ce cas, l'une de ces équations a exactement deux solutions et l'autre n'en a aucune.

Exemples

• Modulo q = 3, le seul carré non nul est (±1)² = 1. La loi de réciprocité quadratique (jointe à sa première loi complémentaire) fournit donc, pour tout nombre premier p différent de 2 et 3, l'équivalence :$p\equiv 1\operatorname {mod} 3\Longleftrightarrow -3{\text{ est un carré modulo }}p$.Cette équivalence se démontre plus directement : l'entier p – 1 est un multiple de 3 si et seulement si (ℤ/pℤ)* contient un élément d'ordre 3, c'est-à-dire une racine du polynôme X² + X + 1. Cela équivaut à l'existence dans ℤ/pℤ d'une racine carrée du discriminant –3 de ce polynôme.
• Modulo q = 5, les carrés non nuls sont (±1)² = 1 et (±2)² ≡ –1. La loi de réciprocité quadratique fournit donc, pour tout nombre premier p différent de 2 et 5, l'équivalence :$p\equiv \pm 1\operatorname {mod} 5\Longleftrightarrow 5{\text{ est un carré modulo }}p.$Mais dès 1775, Lagrange, parmi ses nombreux cas particuliers de la loi de réciprocité — fruits de son étude des formes quadratiques binaires — démontra le sens direct (⇒) et étendit la réciproque (⇐) au cas où p n'est pas premier. Gauss, en préambule à sa première démonstration de la loi générale, fit de même.
• Déterminons si 219 est un carré modulo 383. La multiplicativité du symbole de Legendre montre que :$\left({\frac {219}{383}}\right)=\left({\frac {3}{383}}\right)\left({\frac {73}{383}}\right)$.

Le théorème fondamental permet de simplifier les deux facteurs :$\left({\frac {3}{383}}\right)=(-1)^{2\times 382/4}\left({\frac {383}{3}}\right)=-\left({\frac {-1}{3}}\right)\quad {\text{et}}\quad \left({\frac {73}{383}}\right)=(-1)^{72\times 382/4}\left({\frac {383}{73}}\right)=+\left({\frac {18}{73}}\right)$. À nouveau par multiplicativité du symbole de Legendre, on simplifie encore le second facteur : $\left({\frac {18}{73}}\right)=\left({\frac {2}{73}}\right)\left({\frac {3^{2}}{73}}\right)=\left({\frac {2}{73}}\right)$.On conclut à l'aide des deux lois complémentaires : comme $3\not \equiv 1\operatorname {mod} 4$ et $73\equiv 1\operatorname {mod} 8$, $\left({\frac {219}{383}}\right)=-\left({\frac {-1}{3}}\right)\left({\frac {2}{73}}\right)=-(-1)1=1$. Par conséquent, 219 est un carré modulo 383.

• Déterminons modulo quels nombres premiers p > 3 l'entier 3 est un carré. D'après le théorème fondamental,

$\left({\frac {3}{p}}\right)=(-1)^{(3-1)(p-1)/4}\left({\frac {p}{3}}\right)=(-1)^{(p-1)/2}\left({\frac {p}{3}}\right)$,

or $\left({\frac {p}{3}}\right)$ dépend de p mod 3 et $(-1)^{(p-1)/2}$ dépend de p mod 4. On trouve ainsi que

$3{\text{ est un carré modulo }}p\Longleftrightarrow p\equiv \pm 1\operatorname {mod} 12.$

Démonstrations de la loi de réciprocité quadratique

Dans un séminaire donné à Princeton autour de 1960, André Weil estime qu'il existe environ 150 preuves différentes de la loi de réciprocité quadratique. Ceci pousse Murray Gerstenhaber a nommer sa démonstration de 1963 la « 152^e preuve de la loi de réciprocité quadratique », Tomio Kubota en ayant publié une autre entre-temps. Dans un livre publié en 2000, Franz Lemmermeyer expose l'histoire mathématique du développement des lois de réciprocité (en), notamment de la loi de réciprocité quadratique. Il y recense 162 preuves de la loi de réciprocité quadratique, et précise que plusieurs d'entre elles ne sont que de simples variations de certaines autres. Selon ses estimations, la démonstration de Gerstenhaber est la 149^e.

Les premières démonstrations de la loi de réciprocité quadratique à être aujourd'hui considérées comme complètes sont publiées par Gauss dans ses Disquisitiones arithmeticae en 1801, qui en donnera huit au total. Gauss disposait de preuves dès 1796, à l'âge de dix-neuf ans. La première de ces preuves repose sur un raisonnement par récurrence. Dans sa correspondance avec Gotthold Eisenstein, Gauss qualifie cette première preuve de laborieuse. La seconde preuve se base sur la théorie des formes quadratiques de Lagrange, que Gauss complète. Ses troisième et cinquième preuves reposent quant à elles sur le lemme de Gauss, qu'il démontre à cette occasion. Gauss introduit quelques années plus tard les sommes de Gauss, qui lui permettront d'établir ses quatrième et sixième démonstrations. Les septièmes et huitièmes preuves sont publiées après sa mort et constituent selon l'ordre chronologique de leur découverte ses troisième et quatrième démonstrations.

Schéma de la preuve originelle de Gauss

La démonstration originale de Gauss utilise les mêmes techniques que celles exposées dans la première preuve de la deuxième loi complémentaire ci-dessous, et quoique considérée comme un peu laborieuse par beaucoup, elle est en fait très naturelle et peut être largement simplifiée (Dirichlet). Gauss suppose par induction la loi vraie pour les nombres premiers p, q inférieurs à N. Il utilise constamment des équations de base telles que p = c² – kq (si par exemple p est supposé résidu modulo q), pour démontrer que les facteurs premiers r divisant k sont résidus ou non résidus modulo p, ce qui permet d'en déduire la résiduité de q modulo p (voir la preuve de la deuxième loi complémentaire ci-dessous pour mieux saisir l'idée). Évidemment, il faut constamment utiliser les symétries logiques pour faire jouer l'induction, et examiner cas par cas.

Mais lorsque toutes les symétries ont été mises à profit, il reste encore un cas qui échappe à l'induction, celui où p > q et p est congru à 1 modulo 4. Gauss a alors l'idée d'utiliser un autre nombre premier intermédiaire q' < p modulo lequel p n'est pas un résidu quadratique. En supposant alors par l'absurde que p est résidu modulo q mais q non résidu modulo p, on en déduit que q' est non résidu modulo p et l'on a l'équation de base qq' = c² – kp, ce qui permet de faire jouer l'induction et de terminer la preuve.

Il reste donc à démontrer que pour tout nombre premier p congru à 1 modulo 4, il existe un nombre premier q' < p tel que p est non résidu modulo q'. C'est en fait la difficulté essentielle de la démonstration de la loi de réciprocité quadratique, et Gauss avoue que la preuve de ce résultat lui a longtemps résisté. Il s'en tire néanmoins par un mini tour de force (numéros 126, 127, 128, 129 des Disquisitiones), en se servant accessoirement d'un lemme injustement tombé dans l’oubli, qu'il démontre facilement par induction et qui mérite d'être cité :

Si A, B, C, D... et A', B', C', D'... sont deux suites de nombres (ne comportant pas forcément le même nombre de termes) et si, pour tout nombre premier p et tout entier n > 0, le nombre des termes de la première suite divisibles par pⁿ est au moins aussi grand que celui des termes de la seconde suite divisibles par ce même nombre, alors le produit des A, B, C... est divisible par le produit des A', B', C'...

Par exemple, si a est un entier relatif et n un entier positif, en observant que le nombre des termes divisible par un entier positif quelconque k dans la suite a, a + 1, a + 2, … , a + n – 1 est au moins aussi grand que celui des termes divisibles par k dans la suite des nombres 1, 2, 3, … , n, on en conclut que a(a + 1)(a + 2)…(a + n – 1)/1.2…n est un entier, chose déjà connue par la combinatoire, mais qui reçoit par là une démonstration numérique pure (due à Gauss). C'est d'ailleurs peut être cet exemple qui a donné à Gauss l'idée de faire jouer la factorielle dans sa preuve du résultat ci-dessus.

Preuves additionnelles

Comme indiqué précédemment, les démonstrations de la loi de réciprocité quadratique sont légion. En particulier, citons-en deux.

• Une démonstration du théorème fondamental, qui est fondée sur les outils de l'analyse harmonique sur un groupe abélien fini et utilise les caractères des groupes abéliens additif et multiplicatif du corps fini F_p à p éléments, est donnée dans l'article « Somme de Gauss ». Une version plus simple est la sixième démonstration par Gauss de ce théorème. Une autre preuve figure dans les liens externes de l'article « Lemme de Zolotarev ». On doit à Frobenius une preuve géométrique très simple s'appuyant sur le lemme de Gauss.
• Une démonstration des deux lois complémentaires est proposée ici. La première est conséquence immédiate du simple critère d'Euler. Les trois démonstrations choisies pour la deuxième sont (parmi bien d'autres) celle de Gauss (Disquisitiones), Thomas Joannes Stieltjes (par dénombrement) et celle d'Euler (1772).

Preuves des deux lois complémentaires

Soit p un nombre premier différent de 2. L'objectif est de déterminer le statut quadratique de –1 et 2 dans le corps F_p = ℤ/pℤ. L'ordre de son groupe multiplicatif F_p* est p – 1 (qui est pair).

• Conséquences du critère d'Euler :

• le produit ab de deux éléments de F_p* est quadratique si a et b sont simultanément quadratiques ou si aucun des deux ne l'est ;
• un élément de F_p* est non quadratique si et seulement s'il est racine du polynôme P(X) de F_p[X] défini par :

$P(X)=X^{\frac {p-1}{2}}+1$ ;

• il y a exactement (p – 1)/2 résidus quadratiques.

• Première loi complémentaire :

Elle résulte de l'imparité de p (qui ne peut donc être congru modulo 4 qu'à ±1) et de la deuxième conséquence ci-dessus : –1 est non quadratique si et seulement si $(-1)^{(p-1)/2}=-1$, c'est-à-dire si p est congru à –1 modulo 4.

• Deuxième loi complémentaire (preuve due à Gauss)

Premier cas: si p est congru à ±3 modulo 8 :

Si 2 était résidu modulo p, on pourrait supposer p minimal jouissant de cette propriété, parmi tous les nombres premiers p congru à ±3 modulo 8. On aurait donc l'équation de base

$2=c^{2}-kp,$

avec k > 0 et 0 < c < p, et en échangeant éventuellement c avec p-c, on pourrait supposer c impair, d'où k impair d'une part, et $c^{2}\equiv 1\mod 8$ d'autre part. L'équation de base donnerait alors

$-kp\equiv 1\mod 8,$

et il s'ensuivrait que k serait divisible par un nombre premier q congru a ±3 modulo 8 (sans quoi k, produit de nombres premiers congrus à ±1 modulo 8, serait de la forme ±1 modulo 8, et kp de la forme ±3 modulo 8).

Puisque d'autre part $k={c^{2}-2 \over p}<p,$ on a q < p. Mais alors, l'équation de base impliquerait que 2 est résidu modulo q, en contradiction avec la minimalité de p.

Deuxième cas: si p est congru à –1 modulo 8 :

On veut prouver que 2 est résidu modulo p. Puisque dans ce cas, -1 n'est pas résidu modulo p (première loi complémentaire), il suffit de prouver que -2 est non résidu modulo p.

Comme dans pour le premier cas, en supposant cela possible, on choisit p minimal jouissant de cette propriété. On a, comme précédemment, l'équation de base

$-2=c^{2}-kp,$

avec k > 0, 0 < c < p, c impair, k impair, et k < p. Ainsi

$kp\equiv 3\mod 8.$

Mais alors k est divisible par un facteur premier q congru à -3 ou à -1 modulo 8 (sans quoi k, produit de facteurs congrus à 1 ou à 3 modulo 8, le serait aussi, et kp serait congru à -1 ou à -3 modulo 8). L'équation de base implique que -2 est résidu modulo q, ce qui est impossible si q est congru à -1 modulo 8 en vertu de la minimalité de p. Si au contraire q est congru à -3 modulo 8, alors, q étant congru à 1 modulo 4, -1 est résidu modulo q et 2 est residu modulo q par l'équation de base (en la divisant par -1 modulo p). Mais cela est interdit par le premier cas déjà démontré. D'où la conclusion.

Troisième cas: si p est congru à 1 modulo 8 :

Ce cas échappe à l'induction, mais ne pose heureusement pas de problème: Si r est une racine primitive modulo p, soit $a=r^{p-1 \over 8}$. Alors

$a^{4}=-1\mod p,\quad {\hbox{ou bien}}\quad a^{4}+1\equiv (a^{2}+1)^{2}-2a^{2}\equiv 0\mod p.$

Donc, par division de cette dernière congruence par $a^{2}$ modulo p, on voit que 2 est résidu modulo p, ce qu'il fallait démontrer.

• Deuxième loi complémentaire (preuve due à Stieltjes)

Considérons l'ensemble B des résidus non quadratiques différents de –1. On remarque que si b est un élément de B, alors b⁻¹ aussi, et il est différent de b. En effet, les seuls éléments égaux à leurs inverses sont 1 et –1 et aucun élément de B n'est égal à l'un de ceux-là.

On distingue deux cas suivant le résultat fourni par la première loi.

Premier cas: si p est congru à 1 modulo 4 :

Dans ce cas, –1 est un résidu quadratique et B est l'ensemble des (p – 1)/2 résidus non quadratiques. Soit C l'ensemble égal à B – 1, c'est-à-dire l'ensemble des éléments de B auxquels on retranche 1. L'égalité suivante montre que la moitié des éléments de C sont des résidus quadratiques et l'autre non :

$\forall b\in B\quad b(b^{-1}-1)=b~b^{-1}-b=-1(b-1).$

En effet, si b – 1 est un résidu quadratique, comme b ne l'est pas et que –1 l'est, b⁻¹ – 1 ne l'est pas non plus. Ce qui montre que l'on peut partitionner C en un ensemble de paires dont un élément est un résidu quadratique et l'autre non. Comme (p – 1)/2 est pair, le calcul de P(1) montre que :

$2=1^{\frac {p-1}{2}}+1=P(1)=\prod _{b\in B}(1-b)=\prod _{b\in B}(b-1)=\prod _{c\in C}c.$

Par conséquent, 2 est un résidu quadratique si et seulement si le nombre de résidus non quadratiques de C, qui vaut (p – 1)/4, est pair, c'est-à-dire si p est congru à 1 non seulement modulo 4, mais modulo 8.

Deuxième cas: si p est congru à –1 modulo 4 :

Dans ce cas, –1 n'est pas un résidu quadratique et B ne contient que (p – 3)/2 éléments. Considérons alors l'ensemble C' égal à B + 1. L'égalité suivante et le raisonnement précédent montrent que la moitié des (p – 3)/2 éléments de C' sont des résidus quadratiques et l'autre non :

$\forall b\in B\quad b(b^{-1}+1)=b~b^{-1}+b=b+1.$

Notons Q(X) le polynôme défini par :

$Q(X)=\prod _{b\in B}(X-b)={\frac {P(X)}{X+1}}=\sum _{i=0}^{\frac {p-3}{2}}(-1)^{i}X^{i}.$

En calculant Q(–1) de deux façons et en réutilisant que (p – 3)/2 est pair, on obtient :

$\prod _{c\in C'}c=(p-1)/2.$

L'élément p – 1 n'est pas un résidu quadratique dans ce cas, et l'inverse de 2 est un résidu quadratique si et seulement si 2 l'est. En conséquence, 2 est un résidu quadratique si et seulement si le nombre de résidus non quadratiques de C', qui vaut (p – 3)/4, est impair, c'est-à-dire si p est congru à –1 non seulement modulo 4, mais modulo 8.

• Deuxième loi complémentaire (Euler).
  • Si p = 8n + 1 alors 2 est un carré mod p car x⁸ⁿ – 1 = (x⁴ⁿ – 1)((x²ⁿ + 1)² – 2(xⁿ)²).
  • Si p ≡ –1 mod 8 alors –2 n'est pas un carré mod p (sinon, p serait de la forme a² + 2b², ce qui est trivialement impossible) donc (d'après la première loi complémentaire) 2 en est un.
  • Si p ≡ ±3 mod 8 alors 2 n'est pas un carré mod p (sinon, p serait de la forme ±(a² – 2b²), ce qui est trivialement impossible).

Généralisations

Il existe des lois de réciprocité cubique, biquadratique (en) (c'est-à-dire de degré 4) et ainsi de suite. Cependant, la véritable généralisation de toutes ces lois — généralisation monumentale — est la théorie des corps de classes. Voir « Neuvième problème de Hilbert ».

Bibliographie

• Roger Cuculière, Histoire d'un théorème d'arithmétique : la loi de reciprocité, Paris, IREM Paris Nord, 1980, 71 p. (lire en ligne)
• (en) David A. Cox, Primes of the Form $x^{2}+ny^{2}$: Fermat, Class Field Theory, and Complex Multiplication, Hoboken, NJ, USA, John Wiley & Sons, Inc., 1989 (ISBN 978-1-118-39018-4, DOI 10.1002/9781118400722)
• Franz Lemmermeyer, Reciprocity laws : from Euler to Eisenstein, Springer, coll. « Springer Monographs in Mathematics », 2000, xix+487 p. (ISBN 3-540-66957-4, zbMATH 0949.11002)
• Gauss (trad. du latin par Antoine Charles Marcelin Poullet-Delisle), Recherches arithmétiques [« Disquisitiones arithmeticae »], 1807 (1^re éd. 1801) (lire sur Wikisource)

Voir aussi

Symbole de Jacobi