Loi de réciprocité quadratique

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En mathématiques, en particulier en théorie des nombres, la loi de réciprocité quadratique, établit des liens entre les nombres premiers ; plus précisément, elle décrit la possibilité d'exprimer un nombre premier comme un carré, à un multiple près d'un autre nombre premier. Conjecturée par Euler et explicitée par Legendre[1], elle a été correctement démontrée pour la première fois par Gauss en 1801[2]. Elle est considérée comme un des théorèmes les plus importants de la théorie des nombres, et a de nombreuses généralisations.

Énoncés[modifier | modifier le code]

L'énoncé complet de Gauss comporte trois assertions : le « théorème fondamental » pour deux nombres premiers impairs et deux « lois complémentaires ». Une notion essentielle est celle de résidu quadratique : un nombre entier n est un résidu quadratique modulo un entier m si n est un carré à un multiple de m près, autrement dit si l'équation n = x2 + my a une solution (x, y) en entiers.

Premier énoncé[modifier | modifier le code]

Théorème fondamental.

Étant donné des nombres premiers distincts p et q impairs, la loi de réciprocité quadratique énonce que :

a une solution si et seulement si l'équation d'inconnue y :
a une solution.
  • si p et q sont congrus à 3 modulo 4, alors p est un résidu quadratique modulo q si et seulement si q n'est pas un résidu quadratique modulo p. Plus explicitement : l'équation d'inconnue x :
a une solution si et seulement si l'équation d'inconnue y :
n'a pas de solution.
Première loi complémentaire.
  • –1 est un résidu quadratique modulo p si et seulement si p est congru à 1 modulo 4.
Deuxième loi complémentaire.
  • 2 est un résidu quadratique modulo p si et seulement si p est congru à 1 ou –1 modulo 8.

Symbole de Legendre[modifier | modifier le code]

En utilisant le symbole de Legendre, ces trois énoncés peuvent être résumés respectivement par :

Théorème fondamental.
Première loi complémentaire.
Deuxième loi complémentaire.

Exemples[modifier | modifier le code]

Avec des nombres premiers[modifier | modifier le code]

  • Modulo q = 3, le seul carré non nul est (±1)2 = 1. La loi de réciprocité quadratique (jointe à sa première loi complémentaire) fournit donc, pour tout nombre premier p différent de 2 et 3, l'équivalence :
    Le sens ⇒[3] peut se démontrer plus directement : si p ≡ 1 mod 3, pour montrer que –3 est un carré modulo p, il suffit de trouver dans ℤ/p un élément t vérifiant une équation du second degré at2 + bt + c = 0 de discriminant b2 – 4ac égal à –3. En effet, on aura alors –3 ≡ (b + 2at)2 (mod p).
  • Modulo q = 5, les carrés non nuls sont (±1)2 = 1 et (±2)2 ≡ –1. La loi de réciprocité quadratique fournit donc, pour tout nombre premier p différent de 2 et 5, l'équivalence :
    Mais dès 1775, Lagrange, parmi ses nombreux cas particuliers de la loi de réciprocité — fruits de son étude des formes quadratiques binaires — démontra le sens direct[4] (⇒) et étendit la réciproque (⇐)[5] au cas où p n'est pas premier[6]. Gauss, en préambule à sa première démonstration de la loi générale, fit de même[7].
  • 11 est-il un carré modulo 19 ?le théorème fondamental permet de ramener le calcul de à celui de , qui est égal à (puisque ) ;
    la première loi complémentaire donne , ce qui (par multiplicativité du symbole de Legendre) permet de remplacer par  ;
    en utilisant à nouveau le théorème fondamental,  ;
    la deuxième loi complémentaire permet de conclure, car
    Conclusion : le résultat étant 1, on en déduit que 11 est résidu quadratique modulo 19. D'ailleurs, on le vérifie immédiatement : 11 + 2 × 19 = 72.

Cas général[modifier | modifier le code]

Déterminons si 219 est un carré modulo 383. La multiplicativité du symbole de Legendre montre que :

Une première application du théorème fondamental montre que :

En appliquant encore le théorème fondamental et la multiplicativité du symbole de Legendre, puis les deux lois complémentaires, on obtient :

Démonstrations de la loi de réciprocité quadratique[modifier | modifier le code]

Dans un livre publié en 2000, Franz Lemmermeyer (de) expose l'histoire mathématique des lois de réciprocité en couvrant leurs développements et rassemble des citations de la littérature pour 196 différentes démonstrations[12] du théorème fondamental.

Les premières démonstrations de ce dernier aujourd'hui considérées comme complètes sont publiées par Gauss dans ses Disquisitiones arithmeticae en 1801. Gauss disposait des preuves dès 1796 (à l'âge de 19 ans). La première de ces preuves repose sur un raisonnement par récurrence. Dans sa correspondance avec son élève Gotthold Eisenstein, Gauss qualifie cette première preuve de laborieuse[13]. Ses troisième et cinquième preuves reposent sur le lemme de Gauss, qu'il démontra à cette occasion[12].

Généralisations[modifier | modifier le code]

Il existe des lois de réciprocité cubique, biquadratique (en) (c'est-à-dire de degré 4) et ainsi de suite. Cependant, la véritable généralisation de toutes ces lois — généralisation monumentale — est la théorie des corps de classes. Voir « Neuvième problème de Hilbert ».

Notes et références[modifier | modifier le code]

  1. Il croit l'avoir démontrée (A.-M. Legendre, « Recherches d'analyse indéterminée », Histoire de l'Académie royale des sciences de Paris, 1785, p. 465-559 : démonstration p. 516-520, reprise dans Essai sur la théorie des nombres, 1798) mais Gauss (trad. du latin par A.-C.-M. Poullet-Delisle), Recherches arithmétiques [« Disquisitiones arithmeticae »], (1re éd. 1801) (lire sur Wikisource), § 296-297, analyse les failles. La première est que Legendre admet à plusieurs reprises le théorème de la progression arithmétique, question qui s'avère encore plus difficile que celle de la réciprocité quadratique et ne sera démontrée qu'en 1837. Legendre percevait cette première difficulté (p. 552) mais crut dès 1808 l'avoir résolue.
  2. Gauss 1801, § 125-151 et 262.
  3. La réciproque (⇐), utile dans la détermination des nombres premiers d'Eisenstein, peut se déduire de la factorialité de ℤ[j].
  4. J.-L. Lagrange, « Recherches d'arithmétique (suite) », Mémoires de l'Académie de Berlin,‎ , p. 323-356 rééd. Joseph-Alfred Serret, Œuvres de Lagrange, vol. III, Gauthier-Villars, (lire en ligne), p. 759-795.
  5. Cette réciproque, utile dans la détermination des irréductibles de ℤ[φ], peut aussi se déduire de la factorialité de cet anneau.
  6. J.-L. Lagrange, « Recherches d'arithmétique », Mémoires de l'Académie de Berlin,‎ , p. 265-312 (Œuvres, III, p. 695-758, [lire en ligne]), établit plus précisément que « les diviseurs impairs des nombres de la forme t2 – 5u2 ou 5u2t2 sont en même temps de chacune de ces deux formes y2 – 5z2, 5z2y2. »
  7. Gauss 1801, § 123 et 121.
  8. Preuve de Lagrange et Gauss, présentée ici dans un style plus moderne.
  9. Voir aussi la fin de (la) « Demonstrationes circa residua ex divisione potestatum per numeros primos resultantia (E449) », Novi Comment. Acad. Sci. Petrop., vol. 18,‎ , p. 85-135 (lire en ligne) (écrit en 1772).
  10. On peut alors conclure plus vite, exactement comme dans le premier cas. En effet, avec ce choix plus précis, yp+1 = 1 donc y + 1/y appartient bien à Fp car il est fixe par l'automorphisme de Frobenius.
  11. Lagrange et Gauss choisissent arbitrairement une base (1, x) telle que, au contraire, x2 appartienne à Fp.
  12. a et b (en) F. Lemmermeyer, « Proofs of the Quadratic Reciprocity Law ».
  13. (en) Reinhard Laubenbacher et David Pengelley, « Gauß, Eisenstein, and the "third" proof of the Quadratic Reciprocity Theorem: Ein kleines Schauspiel ».
  14. (la) Gauss, « Theorematis fandamentalis in doctrina de residuis quadraticis demonstrationes et ampliationes novae », 1818.
  15. André Weil, « La cyclotomie jadis et naguère », Séminaire Bourbaki, vol. 16, 1973-1974, no 452, p. 318-338, § 6.
  16. Pour une preuve analogue de la deuxième loi complémentaire, voir (en) Kenneth Ireland et Michael Rosen, A Classical Introduction to Modern Number Theory, coll. « GTM » (no 84) (lire en ligne), p. 69-70.
  17. Voir aussi « Théorème des deux carrés de Fermat ».
  18. T. J. Stieltjes, « Sur le caractère quadratique du nombre 2 », Annales de la Faculté des sciences de Toulouse, 1e série, vol. 11, no 1,‎ (lire en ligne).
  19. (en) André Weil, Number Theory : An approach through history from Hammurapi to Legendre [détail des éditions], p. 212 et 85. Gauss 1801, § 116, fait donc erreur lorsqu'il affirme qu'Euler n'en possédait pas encore de démonstration « quand il a écrit la dissertation que renferme le T. 1 des Opuscula analyt., p. 259 », c'est-à-dire E449, p. 108.