Loi de réciprocité quadratique

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En mathématiques, en particulier en théorie des nombres, la loi de réciprocité quadratique, établit des liens entre les nombres premiers ; plus précisément, elle décrit la possibilité d'exprimer un nombre premier comme un carré, à un multiple près d'un autre nombre premier. Conjecturée par Euler et explicitée par Legendre, elle a été correctement démontrée pour la première fois par Gauss en 1801[1]. Elle est considérée comme un des théorèmes les plus importants de la théorie des nombres, et a de nombreuses généralisations.

Énoncés[modifier | modifier le code]

L'énoncé complet de Gauss comporte trois assertions : le « théorème fondamental » pour deux nombres premiers impairs et deux « lois complémentaires ». Une notion essentielle est celle de résidu quadratique : un nombre entier n est un résidu quadratique modulo un entier m si n est un carré à un multiple de m près, autrement dit si l'équation n = x2 + my a une solution (x, y) en entiers.

Premier énoncé[modifier | modifier le code]

Théorème fondamental.

Étant donné des nombres premiers distincts p et q impairs, la loi de réciprocité quadratique énonce que :

x^2\equiv p\pmod q
a une solution si et seulement si l'équation d'inconnue y :
y^2\equiv q\pmod p
a une solution.
  • si p et q sont congrus à 3 modulo 4, alors p est un résidu quadratique modulo q si et seulement si q n'est pas un résidu quadratique modulo p. Plus explicitement : l'équation d'inconnue x :
x^2\equiv p\pmod q
a une solution si et seulement si l'équation d'inconnue y :
y^2\equiv q\pmod p
n'a pas de solution.
Première loi complémentaire.
  • –1 est un résidu quadratique modulo p si et seulement si p est congru à 1 modulo 4.
Deuxième loi complémentaire.
  • 2 est un résidu quadratique modulo p si et seulement si p est congru à 1 ou –1 modulo 8.

Symbole de Legendre[modifier | modifier le code]

En utilisant le symbole de Legendre, ces trois énoncés peuvent être résumés respectivement par :

Théorème fondamental.
\left(\frac pq\right)\left(\frac qp\right)=(-1)^{\frac{(p-1)(q-1)}4}.
Première loi complémentaire.
\left(\frac{-1}p\right)=(-1)^{\frac{p-1}2}.
Deuxième loi complémentaire.
\left(\frac2p\right)=(-1)^{\frac{p^2-1}8}.

Exemples[modifier | modifier le code]

Avec des nombres premiers[modifier | modifier le code]

  • Modulo q = 3, le seul carré non nul est (±1)2 = 1. La loi de réciprocité quadratique (jointe à sa première loi complémentaire) fournit donc, pour tout nombre premier p différent de 2 et 3, l'équivalence :
    p\equiv1\pmod3\Longleftrightarrow-3\text{ est un carré modulo }p.
    Le sens ⇒[2] peut se démontrer plus directement : si p ≡ 1 mod 3, pour montrer que –3 est un carré modulo p, il suffit de trouver dans ℤ/p un élément t vérifiant une équation du second degré at2 + bt + c = 0 de discriminant b2 – 4ac égal à –3. En effet, on aura alors –3 ≡ (b + 2at)2 (mod p).
  • Modulo q = 5, les carrés non nuls sont (±1)2 = 1 et (±2)2 ≡ –1. La loi de réciprocité quadratique fournit donc, pour tout nombre premier p différent de 2 et 5, l'équivalence :
    p\equiv\pm1\pmod5\Longleftrightarrow5\text{ est un carré modulo }p.
    Mais Lagrange démontra le sens direct (⇒) dès 1775, parmi ses nombreux cas particuliers de la loi de réciprocité[3] — fruits de son étude des formes quadratiques binaires — et Gauss, en préambule à sa première démonstration de la loi générale, synthétisa cette preuve[4] et démontra la réciproque[5],[6].
  • 11 est-il un carré modulo 19 ?le théorème fondamental permet de ramener le calcul de \left(\frac{11}{19}\right) à celui de  -\left(\frac{19}{11}\right), qui est égal à -\left(\frac{-3}{11}\right) (puisque 19\equiv-3\pmod{11}) ;
    la première loi complémentaire donne \left(\frac{-1}{11}\right)=-1, ce qui (par multiplicativité du symbole de Legendre) permet de remplacer -\left(\frac{-3}{11}\right) par \left(\frac3{11}\right) ;
    en utilisant à nouveau le théorème fondamental, \left(\frac3{11}\right)=-\left(\frac{11}3\right)=-\left(\frac23\right) ;
    la deuxième loi complémentaire permet de conclure, car -\left(\frac23\right)=-(-1)=1.
    Conclusion : le résultat étant 1, on en déduit que 11 est résidu quadratique modulo 19. D'ailleurs, on le vérifie immédiatement : 11 + 2 × 19 = 72.

Cas général[modifier | modifier le code]

Déterminons si 219 est un carré modulo 383. La multiplicativité du symbole de Legendre montre que :

\left(\frac{219}{383}\right)= \left(\frac3{383}\right)\left(\frac{73}{383}\right).

Une première application du théorème fondamental montre que :

\left(\frac{219}{383}\right)= -\left(\frac{383}3\right)\left(\frac{383}{73}\right).

En appliquant encore le théorème fondamental et la multiplicativité du symbole de Legendre, puis les deux lois complémentaires, on obtient :

\left(\frac{219}{383}\right)=-\left(\frac{-1}3\right)\left(\frac{18}{73}\right)=-\left(\frac{-1}3\right)\left(\frac2{73}\right) \left(\frac9{73}\right)=\left(\frac{2}{73}\right)=(-1)^{\left(\frac{73^2-1}8\right)}=(-1)^{666}=1.

Démonstrations de la loi de réciprocité quadratique[modifier | modifier le code]

Dans un livre publié en 2000, Franz Lemmermeyer (de) expose l'histoire mathématique des lois de réciprocité en couvrant leurs développements et rassemble des citations de la littérature pour 196 différentes démonstrations[10] de cette loi de réciprocité quadratique.

Les premières démonstrations aujourd'hui considérées comme complètes sont publiées par Gauss dans ses Disquisitiones arithmeticae en 1801. Gauss disposait des preuves dès 1796 (à l'âge de 19 ans). La première de ces preuves repose sur un raisonnement par récurrence. Dans sa correspondance avec son élève Gotthold Eisenstein, Gauss qualifie cette première preuve de laborieuse[11]. Ses troisième et cinquième preuves reposent sur le lemme de Gauss, qu'il démontra à cette occasion[10].

Ces deux lois sont aussi conséquences directes du lemme de Gauss.

Généralisations[modifier | modifier le code]

Il existe des lois de réciprocité cubique, biquadratique (en) (c'est-à-dire de degré 4) et ainsi de suite. Cependant, la véritable généralisation de toutes ces lois — généralisation monumentale — est la théorie des corps de classes.

Notes et références[modifier | modifier le code]

  1. C. F. Gauss, Disquisitiones arithmeticae,‎ 1801 (lire en ligne), § 125-151 et 262.
  2. La réciproque (⇐), utile dans la détermination des nombres premiers d'Eisenstein, peut se déduire de la factorialité de ℤ[j].
  3. J.-L. Lagrange, « Recherches d'arithmétique », Mémoires de l'Académie de Berlin,‎ 1775, p. 323-356 (lire en ligne).
  4. Gauss 1801, § 123.
  5. Gauss 1801, § 121.
  6. Cette réciproque (⇐), utile dans la détermination des irréductibles de ℤ[φ], peut aussi se déduire de la factorialité de cet anneau.
  7. Preuve de Lagrange et Gauss, présentée ici dans un style plus moderne.
  8. On peut alors conclure plus vite, exactement comme dans le premier cas. En effet, avec ce choix plus précis, yp+1 = 1 donc y + 1/y appartient bien à Fp car il est fixe par l'automorphisme de Frobenius.
  9. Lagrange et Gauss choisissent arbitrairement une base (1, x) telle que, au contraire, x2 appartienne à Fp.
  10. a et b (en) F. Lemmermeyer, « Proofs of the Quadratic Reciprocity Law ».
  11. (en) Reinhard Laubenbacher et David Pengelley, « Gauß, Eisenstein, and the "third" proof of the Quadratic Reciprocity Theorem: Ein kleines Schauspiel ».
  12. T. J. Stieltjes, « Sur le caractère quadratique du nombre 2 », Annales de la Faculté des sciences de Toulouse, 1e série, vol. 11, no 1,‎ 1897 (lire en ligne).
  13. Pour la première, voir aussi « Théorème des deux carrés de Fermat ».