Section (théorie des catégories)

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Dans le domaine mathématique de la théorie des catégories, si on a un couple de morphismes f\colon X \to Y, g\colon Y \to X tel que fg=\operatorname{id}_Y (l'identité sur Y, ou plus généralement le morphisme neutre de Y), on dit que g est une section de f, et que f est une rétraction de g. En d'autres termes, une section est un inverse à droite, et une rétraction est un inverse à gauche (ce sont deux notions duales).

Le concept au sens des catégories de ces notions est particulièrement important en algèbre homologique, et est étroitement lié à la notion de section d'un fibré en topologie.

Une section est un monomorphisme, et une rétraction est un épimorphisme ; elles sont respectivement appelées split mono et split epi. Même dans le cas de la catégorie des ensembles, il n'y a nullement unicité, par exemple, si f est une surjection, mais pas une bijection, on peut construire (en admettant l'axiome du choix) plusieurs sections de f.

Exemples[modifier | modifier le code]

Soit un espace quotient \bar X quotienté par l'application \pi\colon X \to \bar X, une section de \pi est appelée une transversale (en).