Théorème de factorisation

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En mathématiques, le théorème de factorisation est un principe général qui permet de construire un morphisme d'une structure quotient dans un autre espace à partir d'un morphisme de vers .

Le cas des ensembles[modifier | modifier le code]

Soit un ensemble muni d'une relation d'équivalence et la surjection canonique.

Théorème —  Soit une application telle que (pour toute paire d'éléments x, x' dans X)

Alors, il existe une unique application

De plus :

  • est injective si et seulement si, réciproquement, (et donc si ) ;
  • est surjective si et seulement si est surjective ;
  • est bijective si est surjective et si .

(La réciproque est moins utile mais immédiate : pour toute application g : X/RY, la composée f = gs vérifie x R x'f(x) = f(x').)

Ce théorème peut se spécialiser à un certain nombre de structures algébriques ou topologiques.

Le cas des groupes[modifier | modifier le code]

Article détaillé : Théorèmes d'isomorphisme.

Sur un groupe , on considère la relation d'équivalence définie par un sous-groupe normal de  : si . Alors est un morphisme de groupes et le théorème de factorisation s'énonce

Théorème —  Soit un morphisme de groupes. Si est contenu dans le noyau de , alors il existe un unique morphisme de groupes tel que . De plus :

  • est surjectif si est surjectif ;
  • est injectif si on a  ;
  • est un isomorphisme si est surjectif et .

Le cas des espaces vectoriels[modifier | modifier le code]

On considère un espace vectoriel et la relation d'équivalence définie par un sous-espace vectoriel  : si . Alors est une application linéaire.

Théorème —  Soit une application linéaire. Si est contenu dans le noyau de , alors il existe une unique application linéaire telle que . De plus :

  • est surjective si est surjective ;
  • est injective si on a  ;
  • est un isomorphisme si est surjectif et .

Le cas des anneaux[modifier | modifier le code]

Article détaillé : Anneau quotient.

On considère un anneau et la relation d'équivalence définie par un idéal bilatère de : si . Alors est un morphisme d'anneaux.

Théorème —  Soit un morphisme d'anneaux. Si est contenu dans le noyau de , alors il existe un unique morphisme d'anneaux tel que . De plus :

  • est surjectif si est surjectif ;
  • est injectif si on a  ;
  • est un isomorphisme si est surjectif et .

Le cas des espaces topologiques[modifier | modifier le code]

Soit un espace topologique muni d'une relation d'équivalence et la surjection canonique. On munit de la topologie quotient. Soit une application continue.

Théorème —  Si pour tout couple dans , on a , alors il existe une unique application continue telle que . De plus :

  • est surjective si est surjective ;
  • est injective si on a équivalent à  ;
  • est ouverte (resp. fermée) si est ouverte (resp. fermée) ;
  • est un homéomorphisme si est surjective et ouverte ou fermée, et si .

Références[modifier | modifier le code]

Article connexe[modifier | modifier le code]

Magma quotient