Produit tensoriel de deux modules

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Le produit tensoriel de deux modules est une construction en théorie des modules qui, à deux modules sur un même anneau commutatif unifère A, assigne un module. Le produit tensoriel est très important dans les domaines de la topologie algébrique et de la géométrie algébrique. Le produit tensoriel permet en outre de ramener l'étude d'applications bilinéaires ou multilinéaires à des applications linéaires.

Introduction - applications bilinéaires[modifier | modifier le code]

Lorsque M, N et F sont trois A-modules, on appelle application bilinéaire une application f : M × NF, telle que :

  • f est linéaire à gauche, c'est-à-dire que \forall \alpha, \beta \in A, \forall x, y \in M, \forall z \in N, f(\alpha x + \beta y,z) = \alpha f(x,z) + \beta f(y,z).
  • f est linéaire à droite, c'est-à-dire que \forall \alpha, \beta \in A, \forall x \in M, \forall y, z \in N, f(x, \alpha y + \beta z) = \alpha f(x,y) + \beta f(x,z).

Pour ramener l'étude des applications bilinéaires à celle des applications linéaires, on se propose de définir un module MN et une application bilinéaire \varphi : M \times N \to M \otimes N tels que toute application bilinéaire f : M \times N \to F se factorise de manière unique à droite par \varphi, c'est-à-dire qu'il existe une et une seule application linéaire g : M \otimes N \to F telle que f = g \circ \varphi.

On va prouver qu'un tel couple  (M \otimes N, \varphi) existe et est unique à unique isomorphisme près.

Définition[modifier | modifier le code]

Soient M et N deux A-modules. L'espace C = A(M × N) est le A-module des combinaisons linéaires formelles d'éléments de M × N. Un tel espace peut également être défini de manière équivalente comme le A-module des applications de M × N dans A nulles partout sauf sur un nombre fini d'éléments. C est un A-module libre dont (e_{(x,y)})_{(x,y) \in M \times N} est la base canonique.

On souhaite que les éléments de la forme

  • e_{(x+y,z)} - e_{(x,z)} - e_{(y,z)}
  • e_{(x,y+z)} - e_{(x,y)} - e_{(x,z)}
  • e_{(\alpha x, y)} - \alpha e_{(x,y)}
  • e_{(x, \alpha y)} - \alpha e_{(x,y)}

soient identifiés comme nuls. On appelle donc D le sous-module de C engendré par les éléments de la forme précédente. On appelle produit tensoriel de M et N, et on note MAN le module quotient C/D. Il est important de préciser l'anneau des scalaires A dans la notation du produit tensoriel. Néanmoins, si la situation est assez claire, on peut se permettre de ne pas trop surcharger les notations. On note x \otimes y la classe de e_{(x,y)} dans MAN.

Remarque : dans le module quotient MN, l'image de M×N est un cône.

Cas de deux modules libres[modifier | modifier le code]

Si les deux A-modules M et N sont libres (par exemple si l'anneau commutatif A est un corps et M, N deux espaces vectoriels sur ce corps) alors leur produit tensoriel est libre : si (mi)i et (nj)j sont des bases respectives de M et N, une base de MAN est (minj)(i,j).

En particulier, le produit tensoriel de deux espaces vectoriels M et N a pour dimension dim(M)×dim(N).

Par exemple, le complexifié (en) d'un espace vectoriel réel E (cas particulier d'extension des scalaires), qui est par définition l'espace vectoriel complexe ℂ⊗E, a, vu comme espace vectoriel réel, une dimension double de celle de E : tout vecteur de ℂ⊗E est somme d'un produit tensoriel de 1 par un vecteur de E et de i par un autre vecteur de E et si (ej)j est une base de E (sur ℝ), alors une base sur ℝ de ℂ⊗E est formée des 1⊗ej et des iej (tandis qu'une base sur ℂ de ℂ⊗E est (1⊗ej)j).

Généralisation à un produit fini de modules[modifier | modifier le code]

Ce qui a été fait précédemment se généralise sans peine aux applications multilinéaires. Soit E_1, \dots E_n n A-modules. On considère le module produit E = E_1 \times \cdots \times E_n. Une application f : EF est dite n-linéaire si

Quels que soient l'indice i et les n – 1 éléments x_k \in E_k (k \neq i), l'application partielle x_i \mapsto f(x_1, \dots, x_{i-1}, x_i, x_{i+1}, \dots, x_n) est linéaire.

Il existe un A-module que l'on note \bigotimes_{i=1}^n E_i et une application n-linéaire \varphi : (x_1, \dots, x_n) \mapsto x_1 \otimes x_2 \otimes \cdots \otimes x_n de E dans \bigotimes_{i=1}^n E_i telle que pour toute application n-linéaire de E dans un module d'arrivée F, il existe une unique application linéaire g : \bigotimes_{i=1}^n E_{i}\to F telle que f = g \circ \varphi.

En fait, le produit tensoriel de deux modules est associatif au sens suivant : si E, F, G sont trois A-modules, alors les modules (EAF)⊗AG, EA(FAG) et EAFAG sont isomorphes.

Langage des catégories[modifier | modifier le code]

Pour des A-modules E_1, \dots E_n fixés, les applications multilinéaires \ E_1 \times \cdots \times E_n \rightarrow F, où F parcourt les A-modules, sont les objets d'une catégorie, un morphisme de l'objet \ f : E_1 \times \cdots \times E_n \rightarrow F vers l'objet \ g : E_1 \times \cdots \times E_n \rightarrow G étant une application linéaire h de F dans G telle que \ g = h \circ f. Dans le langage des catégories, la propriété énoncée ci-dessus de l'application \varphi : (x_1, \dots, x_n) \mapsto x_1 \otimes x_2 \otimes \cdots \otimes x_n de \ E_1 \times \cdots \times E_n dans \bigotimes_{i=1}^n E_i, à savoir que pour toute application n-linéaire de \ E_1 \times \cdots \times E_n dans un module d'arrivée F, il existe une unique application linéaire g : \bigotimes_{i=1}^n E_{i}\to F telle que f = g \circ \varphi, revient à dire que \varphi est un objet initial de la catégorie en question[1], ou encore : que le foncteur covariant qui à tout module F associe le module des applications multilinéaires E_1\times\ldots\times E_n\to F est représenté par \bigotimes_{i=1}^nE_i.

Par ailleurs, pour un A-module N, fixé, la donnée d'une application bilinéaire de M × N dans F est équivalente à celle d'une application linéaire de M dans le module Hom(N, F) des applications linéaires de N dans F, si bien que le foncteur (– ⊗N) est adjoint à gauche du foncteur Hom(N, –), c'est-à-dire qu'on a un isomorphisme naturel :

\mathrm{Hom}(M\otimes N,F)\simeq\mathrm{Hom}(M,\mathrm{Hom}(N,F)).

Notes et références[modifier | modifier le code]

  1. Serge Lang, Algèbre [détail des éditions], tr. fr., 3e éd., Paris, Dunod, 2004, p. 618-620.

Articles connexes[modifier | modifier le code]