Application bilinéaire

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En mathématiques, une application bilinéaire est un cas particulier d'application multilinéaire.

Définition[modifier | modifier le code]

Soient E, F et G trois espaces vectoriels sur un corps commutatif K et φ:E×F→G une application. On dit que φ est bilinéaire si elle est linéaire en chacune de ses variables, c'est-à-dire :

Si G=K on parlera de forme bilinéaire.

Exemple[modifier | modifier le code]

Le produit scalaire est une forme bilinéaire, car il est distributif sur la somme vectorielle, et associatif avec la multiplication par un scalaire :

Généralisation au cas non commutatif[modifier | modifier le code]

Soit A et B deux anneaux, E un A-module à gauche, F un A-module à droite et G un (A, B)-bimodule. Cela signifie que G est un A-module à gauche et un B-module à droite, avec la relation de compatibilité

.

Soit alors φ:E×F→G une application. Comme plus haut, on dit que φ est bilinéaire si elle est linéaire en chacune de ses variables. Cela se traduit par

Ceci est bien entendu valide lorsque A=B est un corps non commutatif K, E est un K-espace vectoriel à gauche, F est un K-espace vectoriel à droite, et G est un espace vectoriel à gauche et à droite avec la relation de compatibilité ci-dessus.

Bibliographie[modifier | modifier le code]