Matrice élémentaire

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Une matrice est dite élémentaire lorsqu'elle est obtenue en appliquant une seule opération élémentaire sur les lignes ou colonnes de la matrice identité[1].

Les opérations élémentaires sur une matrice sont les suivantes[2] :

  • permuter deux lignes ou deux colonnes entre elles ;
  • ajouter un multiple d'une ligne à une autre ligne (respectivement colonne) ;
  • multiplier une ligne ou une colonne par un scalaire différent de zéro.

Exemples[modifier | modifier le code]

Opération effectuée sur la matrice identité I_3 type de matrice
permutation ligne 1 et 2 
\begin{pmatrix} 
0 & 1 & 0 \\
1 & 0 & 0 \\
0 & 0 & 1 \\
\end{pmatrix}
matrice de permutation
ligne n°3 * 5 
\begin{pmatrix} 
1 & 0 & 0 \\
0 & 1 & 0 \\
0 & 0 & 5 \\
\end{pmatrix}
matrice de dilatation
ligne n°3 + 5*ligne n°2 
\begin{pmatrix} 
1 & 0 & 0 \\
0 & 1 & 0 \\
0 & 5 & 1 \\
\end{pmatrix} matrice de transvection

Multiplier à gauche une matrice A par une matrice élémentaire résultant d'une opération élémentaire sur les lignes de la matrice identité revient à effectuer l'opération correspondante sur les lignes de A.

Multiplier A à droite par une matrice élémentaire résultant d'une opération sur les colonnes de la matrice identité revient à faire cette opération sur les colonnes de A. En effet, une matrice élémentaire de ce type est la transposée d'une matrice du type précédent.

Remarque[modifier | modifier le code]

Le premier type d'opérations élémentaires (transposition de deux lignes ou colonnes) est en fait superflu car il peut s'obtenir à partir des deux autres[3]. En effet,

\begin{pmatrix}0&1\\1&0\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}1&0\\-1&1\end{pmatrix}\begin{pmatrix}-1&0\\0&1\end{pmatrix}\begin{pmatrix}1&-1\\0&1\end{pmatrix}\begin{pmatrix}1&0\\1&1\end{pmatrix}.

Notes et références[modifier | modifier le code]

  1. Renzo Cairoli, Algèbre linéaire, vol. 1, PPUR,‎ (ISBN 978-2-88074-187-7), p. 126.
  2. Cairoli 1991, p. 96.
  3. (en) Ward Cheney (en) et David Kincaid, Linear Algebra: Theory and Applications, Jones & Bartlett,‎ (lire en ligne), p. 16.

Articles connexes[modifier | modifier le code]