Matrice élémentaire

Un article de Wikipédia, l'encyclopédie libre.
Aller à : navigation, rechercher

Une matrice est dite élémentaire lorsqu'elle est obtenue en appliquant une seule opération élémentaire sur les lignes de la matrice identité[1].

Les opérations élémentaires sur les lignes d'une matrice sont les suivantes[2] :

  • permuter deux lignes entre elles ;
  • ajouter un multiple d'une ligne à une autre ligne ;
  • multiplier une ligne par un scalaire non nul.

Exemples[modifier | modifier le code]

Opération effectuée sur la matrice identité I3 type de matrice
échanger lignes 1 et 2 
\begin{pmatrix} 
0 & 1 & 0 \\
1 & 0 & 0 \\
0 & 0 & 1 \\
\end{pmatrix}
matrice de permutation
multiplier ligne n°3 par 5 
\begin{pmatrix} 
1 & 0 & 0 \\
0 & 1 & 0 \\
0 & 0 & 5 \\
\end{pmatrix}
matrice de dilatation
ajouter 5×ligne n°2 à la ligne n°3 
\begin{pmatrix} 
1 & 0 & 0 \\
0 & 1 & 0 \\
0 & 5 & 1 \\
\end{pmatrix} matrice de transvection

Propriétés[modifier | modifier le code]

Un examen direct des trois types montre que toute matrice élémentaire est inversible et de transposée élémentaire.

Multiplier à gauche une matrice A par une matrice élémentaire résultant d'une opération élémentaire sur les lignes de la matrice identité revient à effectuer l'opération correspondante sur les lignes de A[3] (on retrouve ainsi que toute matrice élémentaire est inversible : son inverse correspond à l'opération élémentaire inverse).

En notant M la matrice élémentaire associée à une certaine opération élémentaire sur les lignes, effectuer sur A l'opération élémentaire correspondante sur les colonnes revient à multiplier A à droite par la transposée de M[3].

Remarque[modifier | modifier le code]

Le premier type d'opérations élémentaires (transposition de deux lignes ou colonnes) est en fait superflu car il peut s'obtenir à partir des deux autres[4]. En effet,

\begin{pmatrix}0&1\\1&0\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}1&0\\-1&1\end{pmatrix}\begin{pmatrix}-1&0\\0&1\end{pmatrix}\begin{pmatrix}1&-1\\0&1\end{pmatrix}\begin{pmatrix}1&0\\1&1\end{pmatrix}.

Notes et références[modifier | modifier le code]

  1. Renzo Cairoli, Algèbre linéaire, vol. 1, PPUR,‎ (ISBN 978-2-88074-187-7, lire en ligne), p. 126.
  2. Cairoli 1991, p. 96.
  3. a et b Cairoli 1991, p. 127.
  4. (en) Ward Cheney (en) et David Kincaid, Linear Algebra: Theory and Applications, Jones & Bartlett,‎ (lire en ligne), p. 16.

Articles connexes[modifier | modifier le code]