Corps (mathématiques)

Un article de Wikipédia, l'encyclopédie libre.
Sauter à la navigation Sauter à la recherche
Page d'aide sur l'homonymie Pour les articles homonymes, voir corps.
Cet article court présente un sujet plus développé dans : corps commutatif et corps gauche.

En mathématiques, un corps (parfois appelé anneau à division ou corps gauche, voir plus bas) est une des structures algébriques fondamentales de l'algèbre générale. C'est un ensemble muni de deux opérations binaires rendant possible l'addition, la multiplication et le calcul d'opposés et d'inverses, permettant de définir les opérateurs de soustraction et de division.

La dénomination corps en français sortie de son contexte est ambigüe car la définition varie selon les auteurs. Dans tous les cas, un corps est un anneau (unitaire) dans lequel tout élément non nul a un inverse pour la multiplication. Dit autrement, c'est un anneau dans lequel l'ensemble des éléments non nuls est un groupe pour la multiplication. Cependant, certains auteurs[1],[2] exigent que la multiplication soit commutative alors que d'autres l'autorisent à ne pas l'être[3],[4].

  • Dans le cas où la définition n'exige pas la commutativité, on parle alors de corps commutatifs et de corps non commutatifs pour distinguer les corps dans lesquelles la multiplication est commutative et ne l'est pas.
  • Dans le cas où la définition exige la commutativité, l'appellation corps commutatif est alors un pléonasme. La structure algébrique qui correspond à un corps sans la contrainte de commutativité (c'est-à-dire un anneau dans lequel tout élément non nul a un inverse pour la multiplication) est alors appelée corps gauche ou anneau à division. Si la multiplication n'est pas commutative, on parle alors de corps gauches non commutatifs voire de corps non commutatifs (même s'il s'agit stricto sensus d'un oxymore) ou d'anneaux à division non commutatifs.

On renvoie à l'article corps commutatif qui traite le cas où la multiplication est commutative et à l'article corps gauche qui traite le cas où la commutativité n'est pas imposée.

Références[modifier | modifier le code]

  1. Josette Calais, Extensions de corps : Théorie de Galois, Ellipses, (ISBN 9782729827809)
  2. Grégory Berhuy, Algèbre : le grand combat : Cours et exercices, Calvage et Mounet, (ISBN 978-2-916352-66-4)
  3. Nicolas Bourbaki, Algèbre : Chapitre 1 à 3, Springer, coll. « Éléments de mathématiques », (ISBN 978-3-540-34398-1)
  4. Xavier Gourdon, Les maths en tête : Algèbre, Ellipses, (ISBN 9782729850142)

Voir aussi[modifier | modifier le code]

Sur les autres projets Wikimedia :