Anneau euclidien

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Euclide (Juste de Gand, vers 1474)
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En mathématiques et plus précisément en algèbre, dans le cadre de la théorie des anneaux, un anneau euclidien est un type particulier d'anneau commutatif intègre (voir aussi l'article anneau euclidien non commutatif).

Un anneau est dit euclidien s'il est possible d'y définir une division euclidienne.

Un anneau euclidien est toujours principal. Cette propriété est riche de conséquences : tout anneau principal vérifie l'identité de Bézout, le lemme d'Euclide, il est factoriel et satisfait les conditions du théorème fondamental de l'arithmétique. On retrouve ainsi tous les résultats de l'arithmétique élémentaire et plus spécifiquement de l'arithmétique modulaire, mais dans un cadre plus général.

L'anneau euclidien le plus classique est celui des entiers, mais on trouve aussi celui des entiers de Gauss ou certains autres anneaux d'entiers quadratiques. L'anneau des polynômes à coefficients dans les nombres réels ou complexes, et plus généralement dans n'importe quel corps commutatif est aussi euclidien, donnant ainsi naissance à une arithmétique des polynômes.

Histoire[modifier | modifier le code]

Couverture de la première édition anglaise des Éléments par Henry Billingsley, 1570

Origine[modifier | modifier le code]

La première référence ayant influencé le monde mathématique sur la question de la division euclidienne est le livre VII[1], des Éléments d'Euclide datant d'environ 300 ans avant J.-C.. On y trouve la première définition théorique de la division et l'étude de ses conséquences. Cette branche des mathématiques prend le nom d'Arithmétique. Elle traite essentiellement des questions portant sur les nombres entiers.

Certains mathématiciens comme Diophante d'Alexandrie[2] puis, bien plus tard, Pierre de Fermat[3] comprennent la richesse de cette branche des mathématiques. Ils établissent quelques résultats comme le petit théorème de Fermat et formulent des conjectures comme le théorème des deux carrés de Fermat ou le grand théorème de Fermat. Un outil théorique important est l'analyse des propriétés du reste de la division euclidienne des membres d'une égalité d'entiers. Au XVIIIe siècle, certaines conjectures sont démontrées. On peut citer Leonhard Euler[4] avec le théorème des deux carrés ou le cas n égal à trois du grand théorème de Fermat, presque traité en 1753. D'autres conjectures comme celle de la loi de réciprocité quadratique apparaissent. Ces résultats sont pour l'essentiel démontrés grâce à la virtuosité des mathématiciens, mais l'apport théorique est faible, en conséquence les résultats sont peu généralisables.

Émergence du concept[modifier | modifier le code]

Carl Friedrich Gauss

En 1801, Carl Friedrich Gauss[5] étudie le premier anneau d'entiers algébriques, celui des entiers qui portent maintenant son nom. Cet anneau possède l'équivalent d'une division euclidienne dans Z. En conséquence, l'identité de Bézout, le lemme d'Euclide, et le théorème fondamental de l'arithmétique s'appliquent. De même, l'anneau des polynômes à coefficients dans un corps commutatif, dispose aussi d'une division euclidienne. Gauss y construit une arithmétique analogue aux précédentes. Ainsi, la division euclidienne n'apparaît plus comme une spécificité des nombres relatifs mais un algorithme qui s'applique à diverses ensembles munis d'une multiplication et d'une addition.

Cette approche est utilisée pour d'autres entiers algébriques, par exemple par Gotthold Eisenstein[6] qui découvre l'ensemble des nombres appelés entiers d'Eisenstein et qui dispose d'une division euclidienne.

L'apport d'une division euclidienne à une structure est une démarche féconde. Gauss s'en sert pour une de ses démonstrations de la loi de réciprocité quadratique et des progrès tangibles sont réalisés vers la résolution des premiers cas particuliers du grand théorème de Fermat. Celui où l'exposant est 3 est prouvé de façon parfaitement rigoureuse. Les cas d'un exposant 5, puis 14, puis 7, sont démontrés, avec l'apport massif d'autres idées. L'application de la décomposition en facteurs premiers aux polynômes cyclotomiques permet à Gauss de trouver la première construction à la règle et au compas du polygone régulier à 17 côtés, l'heptadécagone.

L'idée est suffisamment novatrice et fructueuse pour que le lemme d'Euclide et le théorème fondamental de l'arithmétique soient parfois rebaptisés « lemme de Gauss » et « théorème de Gauss ».

Formalisation[modifier | modifier le code]

Paradoxalement la formalisation moderne provient des limitations des arithmétiques précédentes. Par une démarche utilisant la notion d'anneau d'entiers, Gabriel Lamé pense qu'il a démontré le grand théorème de Fermat[7]. Ernst Kummer montre par un exemple[8] en 1844 qu'un anneau d'entiers ne dispose pas, en général, d'une décomposition unique en facteurs premiers. Ce résultat invalide la preuve de Lamé. Kummer découvre en 1846 un nouveau concept qu'il baptise nombre complexe idéal pour retrouver sous une nouvelle forme l'unicité nécessaire.

Ces travaux ouvrent la voie à la formalisation de la structure d'anneau. On peut citer Richard Dedekind[9] et David Hilbert[10] parmi les principaux contributeurs. Un anneau euclidien devient un cas particulier simple d'une vaste théorie, la théorie des anneaux. Dans ce contexte, l'anneau euclidien est un cas spécifique d'anneau intègre. Il entre dans la sous-famille des anneaux factoriels et plus précisément des anneaux principaux, un cas particulier d'anneau factoriel. Les anneaux d'entiers étudiés par Kummer entrent dans une famille différente, celle des anneaux de Dedekind.

Exemples[modifier | modifier le code]

Entiers relatifs[modifier | modifier le code]

Article détaillé : arithmétique élémentaire.
Illustration de l'irrationalité de 2

Les entiers relatifs forment le prototype de l'anneau euclidien. Cet ensemble vérifie la propriété suivante :

\forall a\in\Z,\forall b\in\Z^*, \exists q, r\in\Z\quad / \quad a=bq+r \quad {\rm et } \quad |r| < |b|.

On reconnait là la forme de la division euclidienne dans l'ensemble des entiers naturels N pour laquelle |n| = n. On peut remarquer toutefois que, d'une part N n'est pas un anneau, d'autre part il n'est pas précisé ici l'unicité de q et r. Ceci s'explique par le fait que, pour pouvoir prolonger à Z (ensemble des entiers relatifs) la définition de la division dans N, il faut, ou bien fixer une condition supplémentaire sur b (b > 0) restreignant ainsi le champ de validité de la division euclidienne, ou bien accepter de prendre b négatif et prendre pour définition a = bq + r avec |r| < |b|. Mais alors on peut trouver deux décompositions possibles :

19 = (– 5) × (– 3) + 4 avec |4| < |–5| mais aussi 19 =(– 5) × (– 4) + (–1) avec |–1| < |–5|.

Cette division permet de bâtir une arithmétique vérifiant les propriétés suivantes :

En conséquence, il est possible de définir : la famille des nombres premiers, le ppcm ainsi que le pgcd. L'anneau quotient Z/nZ est bien défini, il est la structure à la base de l'arithmétique modulaire.

Toutes ces propriétés ne sont les conséquences que de la première : la principalité.

La première application connue est probablement la démonstration de l'irrationalité de la racine carrée de deux. Le petit théorème de Fermat se démontre rapidement une fois établi le fait que si n est premier Z/nZ dispose d'une structure de corps. Fermat utilise largement cette arithmétique, par exemple pour démontrer l'absence de solution pour son grand théorème si n est égal à 4. Euler donne une large quantité d'exemples d'utilisation de l'arithmétique dans Z, comme l'étude de l'équation de Pell-Fermat.

Polynômes à coefficients dans un corps commutatif[modifier | modifier le code]

Article détaillé : Division d'un polynôme.
Évariste Galois, initiateur de la théorie portant son nom
Construction d'un pentagone

Si K est un corps commutatif, alors l'anneau des polynômes K[X] est euclidien. La division prend la forme suivante :

\forall A(X)\in K[X],\quad\forall B(X)\in K[X]\setminus\{0\},\quad \exists ! Q(X), R(X)\in K[X]
\text{tel que} \quad A(X)=B(X)Q(X)+R(X)\quad\text{et} \quad \text{deg} R(X) < \text{deg} B(X).

Si la forme est globalement analogue à celle des entiers, on remarque néanmoins qu'une relation d'ordre sur l'ensemble K[X] n'est pas nécessaire. Il suffit d'une application, analogue à celle qui, à un polynôme associe son degré, et dont l'ensemble d'arrivée est ordonné, une telle application est appelée stathme euclidien.

L'arithmétique se fonde sur les mêmes conséquences, l'anneau est principal, l'identité de Bézout est vérifiée, le lemme d'Euclide et le théorème fondamental de l'arithmétique s'appliquent. Les équivalents des nombres premiers sont les polynômes irréductibles, c’est-à-dire ceux qui n'ont pour diviseurs qu'eux-mêmes ou l'unité à une constante multiplicative près. La décomposition en polynômes irréductibles est la factorisation la plus complète possible.

L'équivalent de l'arithmétique modulaire se focalise sur les anneaux quotientés par des idéaux premiers (c’est-à-dire des idéaux engendrés par des polynômes irréductibles). Comme précédemment ces idéaux possèdent une structure de corps. Les quotients sont appelés corps de rupture car ce sont les plus petits corps contenant une racine du polynôme. Cette approche, permettant de définir une extension finie du corps K définit l'outil de base de la théorie de Galois.

Un exemple d'application est le suivant : les polynômes cyclotomiques sont les facteurs irréductibles des polynômes Xn – 1, liés aux racines de l'unité. Leur analyse permet de déterminer tous les polygones réguliers constructibles à la règle et au compas.

Entiers de Gauss[modifier | modifier le code]

Article détaillé : Entier de Gauss.
Entier de Gauss division.jpg

Les entiers de Gauss sont les nombres de la forme u + ivu et v sont choisis entiers. Ils forment un anneau, noté ℤ[i], euclidien d'après la proposition suivante, où N(x) désigne la norme algébrique c’est-à-dire le carré du module de x :

\forall a\in\Z[\mathrm i],\forall b\in\Z[\mathrm i]^*,\qquad\exists q, r\in\Z[\mathrm i]\quad / \quad a=bq+r \quad\text{avec}\quad  N(r) < N(b).

L'application qui à un entier associe sa norme algébrique est bien une application des entiers de Gauss dans un ensemble ordonné, à savoir celui des entiers positifs. Cette norme correspond graphiquement au carré de la distance entre l'origine et l'entier de Gauss.

Dire que la division euclidienne existe signifie qu'il existe un entier de Gauss à une distance inférieure à 1 du nombre complexe a/b. La figure ci-jointe illustre par un fond rouge le carré de sommet des entiers de Gauss et contenant a/b. La figure montre qu'il existe toujours au moins un entier à une distance inférieure à 1 de a/b. Dans le cas illustré, il en existe trois vérifiant cette propriété. L'unicité de la solution n'est pas une condition nécessaire à l'existence d'une division euclidienne.

Une fois encore, la division euclidienne apporte une arithmétique analogue aux deux cas précédents.

Les applications sont nombreuses. Dedekind a, par exemple, trouvé une preuve élégante du théorème des deux carrés de Fermat à partir de cet ensemble. Certaines équations diophantiennes quadratiques se résolvent bien dans cet ensemble. Gauss a utilisé cette arithmétique pour démontrer la loi de réciprocité quadratique.

De même que dans l'anneau des entiers de n'importe quel corps de nombres, tout anneau strictement compris entre ℤ et ℤ[i], comme ℤ[2i], est non intégralement clos, donc non principal et a fortiori non euclidien.

Autres anneaux euclidiens[modifier | modifier le code]

  • L'anneau des entiers d'un corps quadratique ℚ(d) est euclidien pour la norme algébrique (ou sa valeur absolue, si d > 0) si et seulement si d est l'une des 21 valeurs suivantes[11] :
    –11, –7, –3, –2, –1, 2, 3, 5, 6, 7, 11, 13, 17, 19, 21, 29, 33, 37, 41, 57, 73 (suite A048981 de l'OEIS)
    (d = –1 correspond aux entiers de Gauss, d = 5 à l'anneau ℤ[(1 + 5)/2]).
  • Les cinq valeurs –11, –7, –3, –2, –1 sont les seules[12] valeurs négatives de d pour lesquelles cet anneau est euclidien (pour quatre autres valeurs négatives, il est seulement principal). Mais il existe d'autres valeurs positives (conjecturalement : une infinité), comme d = 69[13] ou d = 14[14], pour lesquelles il est euclidien pour une autre norme. Plus précisément : une conjecture non résolue de Gauss prévoit qu'il existe une infinité de corps quadratiques réels dont l'anneau des entiers est principal, or on sait que parmi eux, au plus deux sont non euclidiens[15] et même aucun si l'hypothèse de Riemann généralisée est vraie[16].
  • Si K est un corps commutatif, l'anneau K[[X]] de ses séries formelles est aussi euclidien, pour la valuation : v(P) = plus petit degré de X dans P.
  • Si A est un anneau euclidien et si S est une partie de A stable pour la multiplication, le localisé de A par rapport à S est aussi un anneau euclidien.

Définitions[modifier | modifier le code]

Il existe certains points communs entre les exemples : l'anneau est toujours intègre et, dans chaque cas, une fonction à valeurs dans N (valeur absolue, degré ou norme) est utilisée pour définir la division euclidienne. Ces fonctions sont des cas particuliers de stathme euclidien. De façon générale, si A désigne un anneau intègre, on pose la définition suivante.

  • Un stathme euclidien sur A est une application v de A\{0} dans l'ensemble N des entiers naturels vérifiant les deux propriétés[17] :
(1)\quad \forall a\in A,\forall b\in A\setminus\{ 0 \},\quad\exists q,r\in A \quad / \quad a = bq + r \quad \text{avec} \quad r = 0 \;\, \text{ou}\; v(r) < v(b),
(2)\quad \forall a, b \in A\setminus\{0 \} \quad v(b) \leq v(ab).

La condition (2) revient à dire que si A\{0} est muni de la relation de préordre « divise » et N de la relation d'ordre usuelle, l'application v est croissante.

  • Le terme de préstathme euclidien désigne une application de A\{0} dans N possédant la propriété (1).
  • Il est commode de prolonger v à A en posant v(0)=-\infty ou v(0)=-1.
  • Un anneau intègre est dit euclidien si et seulement s'il existe un stathme euclidien sur cet anneau. On parle alors de division euclidienne dans cet anneau par rapport au stathme.
Remarques 
  • Certains auteurs utilisent le terme de stathme euclidien pour désigner ce qui est appelé ici un préstathme[18]. La différence n'est pas grande, car s'il existe un préstathme sur A, il existe aussi un stathme[19].
  • Comme le montrent des exemples donnés dans les cas particuliers introductifs, les éléments q et r de la relation (1) ne sont pas forcément uniques.
  • On ignore si tout anneau euclidien possède un stathme (complètement) multiplicatif[20].

Propriétés[modifier | modifier le code]

Propriétés des anneaux euclidiens[modifier | modifier le code]

Articles détaillés : Anneau principal et Anneau factoriel.

Dans la suite de l'article, A est un anneau intègre.

Plus précisément, si v est un préstathme sur l'anneau euclidien A, si J est un idéal non nul de A, J admet pour générateur tout élément de J\{0} dont la valeur par le préstathme v est minimale : c'est la principale propriété des normes de Dedekind-Hasse, qui sont des généralisations des préstathmes.

En revanche, un anneau principal n'est pas toujours euclidien, l'article Anneau principal présente un contre-exemple.

Un anneau euclidien possède toutes les propriétés de divisibilité des anneaux principaux : il est factoriel, le lemme d'Euclide, le théorème fondamental de l'arithmétique et l'identité de Bézout sont vérifiés et les opérations sur le plus grand commun diviseur et le plus petit commun multiple s'appliquent.

Si on dispose d'un algorithme effectif de division euclidienne, par exemple pour Z ou pour les polynômes à coefficients dans un corps, on peut définir des algorithmes effectifs fournissant explicitement des objets dont l'existence reste théorique dans un cadre plus général. Ainsi l'algorithme d'Euclide se généralise et permet de trouver un générateur de la somme de deux idéaux (autrement dit, permet de trouver un plus grand commun diviseur de deux éléments). De même, le théorème des facteurs invariants permet de trouver une base d'un A-module de type fini.

Remarque : Pour prouver qu'un anneau euclidien est principal, nous avons seulement utilisé l'existence d'un préstathme et non celle d'un stathme, ce qui explique que certains auteurs ne s'intéressent qu'aux préstathmes (qu'ils appellent stathmes)[21]. Toutefois, la preuve du fait qu'un anneau principal est factoriel repose (quant à l'existence de la décomposition en produits d'éléments irréductibles) sur l'axiome du choix dépendant. Dans le cas d'un anneau euclidien, l'existence d'un stathme permet de prouver que l'anneau est factoriel sans recourir à cet axiome.

Propriétés des stathmes[modifier | modifier le code]

  • Soient a et b deux éléments non nuls de A et v un stathme ; si v(ab) = v(a), alors b est un élément du groupe des unités.

Il est toujours possible de normaliser un stathme v par translation, c'est-à-dire de choisir un stathme w tel que l'image par le stathme d'une unité soit égal à un. Plus précisément, il suffit de définir w par w(x) = v(x) – v(1) + 1 pour tout élément non nul x de A. Dans ce cas :

  • Un élément non nul u de A est une unité de A si, et seulement si, w(u) = 1. De plus, 1 est la valeur minimale que prend w sur A\{0}.

Si l'on étend le stathme normalisé w à l'anneau A tout entier en posant w(0) = 0, 0 est le seul élément x de A tel que w(x) = 0, ce qui permet de donner au principe de division euclidienne cette forme un peu plus élégante :

\forall a\in A,\forall b\in A\setminus\{ 0 \},\quad\exists q,r\in A \quad / \quad a = bq + r \quad\text{avec}\quad w(r) < w(b).

Cette convention n'est pas suivie dans tous les cas. Le stathme dispose de propriétés qui dépassent souvent celles de la division euclidienne. Dans le premier exemple sur Z, le stathme dispose de propriétés métriques, dans le deuxième exemple la fonction degré vérifie une propriété utile : le degré du produit de deux polynômes est égal à la somme des degrés des polynômes. Pour ne pas perdre cette propriété, les unités de l'anneau ont un stathme (degré) choisi égal à zéro et le polynôme nul a pour image (degré) moins l'infini.

Notes et références[modifier | modifier le code]

Notes[modifier | modifier le code]

  1. Euclide, Les quinze livres des éléments géométriques d'Euclide : plus le livre des donnez du mesme Euclide aussi traduict en françois par ledit Henrion, et imprimé de son vivant, traduction de 1632, consultable sur Gallica.
  2. Diophante d'Alexandrie, Arithmetica, éd. et tr. Roshdi Rashed, Paris, les Belles Lettres, 1984.
  3. Pierre de Fermat, Œuvres de Fermat, publiées par Paul Tannery et Charles Henry.
  4. Leonhard Euler, Opera mathematica, vol. 3, 1771.
  5. C. F. Gauss, Recherches arithmétiques, traduction A.-C.-M. Poullet-Delisle, 1801, traduction 1807, réimpr. 1989 Éditions Jacques Gabay.
  6. G. Eisenstein, Journal de Crelle, vol. 27, 1844 : plusieurs articles sur les formes quadratiques et cubiques.
  7. G. Lamé, « Démonstration générale du théorème de Fermat, sur l'impossibilité, en nombres entiers, de l'équation xn + yn = zn », CRAS, vol. 24,‎ 1847, p. 310-315 (lire en ligne).
  8. (en) Harold Edwards, « The background of Kummer's proof of Fermat's Last Theorem for regular primes », Arch. History Exact Sci., vol. 14,‎ 1975.
  9. (de) Heinrich Weber, Lehrbuch der Algebra,‎ 1871.
  10. (de) David Hilbert, Zahlbericht (en),‎ 1897.
  11. (en) E. S. Barnes (de) et H. P. F. Swinnerton-Dyer, « The inhomogeneous minima of binary quadratic forms », Acta Math.,‎ 1952 (I : vol. 87, p. 259-323 et II : vol. 88, p. 279-316) ont rectifié une erreur antérieure de (de) L. Rédei (en), « Zur Frage des Euklidischen Algorithmus in quadratischen Zahlkörpern », Math. Ann., vol. 118,‎ 1942, p. 588-608 (lire en ligne), qui (p. 607) ajoutait 97 à cette liste.
  12. (en) Theodore Motzkin, « The Euclidean algorithm », Bull. Amer. Math. Soc., vol. 55, no 12,‎ 1949, p. 1142-1146 (lire en ligne).
  13. (en) David A. Clark, « A quadratic field which is euclidean but not norm-euclidean », Manuscripta Math., vol. 83,‎ 1994, p. 327-330 (lire en ligne).
  14. (en) M. Harper, « ℤ[14] is Euclidean », Canad. J. Math., vol. 56,‎ 2004, p. 55-70 et « A proof that ℤ[14] is Euclidean », Ph.D. thesis, McGill University, 2000.
  15. (en) Władysław Narkiewicz (de), « Euclidean algorithm in small Abelian fields », Funct. Approx. Comment. Math., vol. 37, no 2,‎ 2007, p. 337-340 (lire en ligne).
  16. (en) P. J. Weinberger (en), « On Euclidean rings of algebraic integers », Proc. Symposia Pure Math., vol. 24,‎ 1972, p. 321-332.
  17. Par exemple (Bourbaki 1973). Voir aussi (Dress 1970) (où la notion de stathme est plus générale : l'ensemble d'arrivée est un ordinal quelconque et non forcément N).
  18. On peut citer par exemple (Perrin 2004). Pour différentes définitions du stathme, voir encore (Dress 1970), (Bourbaki 1973), (Goblot 2001).
  19. Démonstration dans (Dress 1970) ou encore, avec une autre terminologie, dans (Goblot 2001).
  20. Franz Lemmermeyer (de), « The Euclidean algorithm in algebraic number fields », Expositiones Mathematicae, vol. 13, no 5,‎ 1995, p. 395-416. Update version, 2004, p. 5.
  21. (Perrin 2004), (Goblot 2001).

Références[modifier | modifier le code]

Voir aussi[modifier | modifier le code]

Bibliographie[modifier | modifier le code]

Articles connexes[modifier | modifier le code]

Chronologie de l'algèbre