Morphisme de groupes

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Un morphisme de groupes ou homomorphisme de groupes est une application entre deux groupes qui respecte la structure des groupes.

Plus précisément, si (G,*) et (G',\star) sont deux groupes de neutres respectifs e et e', une application f : G \rightarrow G' \, est un morphisme du groupe lorsque :

 \forall x,y \in G\colon f(x*y)=f(x) \star f(y)

Les deux propriétés suivantes sont des conséquences de la définition :

f(e)=e'\qquad\text{et}\qquad\forall x \in G,\;  f(x^{-1})=[f(x)]^{-1}.

Un morphisme d'un groupe G dans lui-même est appelé un endomorphisme de G.

On dit que f est un isomorphisme de groupes si f est un morphisme bijectif. Dans ce cas, f^{-1} est aussi un isomorphisme de groupes. Si de plus (G,*)=(G',\star), autrement dit si l'isomorphisme f est un endomorphisme, on dit que f est un automorphisme du groupe G .

Un morphisme de groupe transporte la loi de groupe, et va ainsi conserver toutes les propriétés liées à cette loi. Il est donc intéressant d'étudier comment se comportent les principaux objets de la théorie des groupes par les morphismes.

Exemple[modifier | modifier le code]

La fonction exponentielle complexe

\begin{matrix}\C&\to&\C^*\\z&\mapsto&{\rm e}^z\end{matrix}

vérifie :

{\rm e}^{z+z'}={\rm e}^z\times{\rm e}^{z'}.

C'est donc un morphisme de groupes de (ℂ, +) dans (ℂ*, ×) et — par restriction — de (ℝ, +) dans (ℝ+*, ×).

Liens avec les sous-groupes[modifier | modifier le code]

Par un morphisme de groupes f:G\to G',

  • l'image réciproque f^{-1}(H') de tout sous-groupe H' de G' est un sous-groupe de G, et si de plus H' est normal dans G' alors f^{-1}(H') est normal dans G.
  • l'image directe f(H) de tout sous-groupe H de G est un sous-groupe de G', et si de plus H est normal dans G alors f(H) est normal dans f(G) (donc dans G' si f est surjectif).

Noyau et image[modifier | modifier le code]

Comme pour toute application, l'image d'un morphisme de groupes f:G\to G' est définie par :

\operatorname{im}(f)=f(G),

et f est surjectif si et seulement si son image est égale à G'.

Le noyau (Kern en allemand, kernel en anglais) est plus spécifique aux morphismes. On appelle noyau du morphisme f l'ensemble

\ker(f)=f^{-1}(\{e'\}),

et f est injectif si et seulement si son noyau est réduit à \{e\}.

Pour tout morphisme f:G\to G', \operatorname{im}(f) est un sous-groupe de G' et \ker(f) est un sous-groupe normal de G.

Isomorphismes de groupes[modifier | modifier le code]

Un isomorphisme de groupes est un morphisme de groupes qui est bijectif.

Lorsqu'il existe un isomorphisme du groupe G vers le groupe G', sa bijection réciproque est un isomorphisme du groupe G' vers le groupe G ; on dit alors que les deux groupes sont isomorphes, ce que l'on note G\simeq G'.

Automorphismes de groupe[modifier | modifier le code]

Un automorphisme de groupe est un morphisme qui est à la fois un isomorphisme de groupes et un endomorphisme de groupe

L'ensemble des automorphismes du groupe G est généralement noté Aut(G). Cet ensemble, muni de la loi de composition est un groupe.

Théorèmes d'isomorphisme[modifier | modifier le code]

Article détaillé : Théorèmes d'isomorphisme.

Les trois théorèmes d'isomorphisme suivants sont généralisables à d'autres structures que les groupes. Voir notamment Algèbre universelle#Passage au quotient et théorèmes d'isomorphie.

Premier théorème d'isomorphisme[modifier | modifier le code]

f induit un isomorphisme du groupe quotient G/ \ker f \, vers  f(G) \,.

On déduit de ce théorème fondamental deux autres théorèmes d'isomorphisme.

Deuxième théorème d'isomorphisme[modifier | modifier le code]

Si N est un sous-groupe normal de G et H un sous-groupe de G, alors  H \cap N est un sous-groupe normal de H et on a l'isomorphisme suivant :

H/(H \cap N) \simeq NH/N.

Troisième théorème d'isomorphisme[modifier | modifier le code]

Soient N et M deux sous-groupes normaux de G tels que M soit inclus dans N. Alors N/M est un sous-groupe normal de G/M et on a l'isomorphisme suivant :

(G/M)/(N/M)\simeq G/N.

Bibliographie[modifier | modifier le code]

  • Josette Calais, Éléments de théorie des groupes, Paris, PUF, 1984.
  • Bernard Charles et Denis Allouch, Algèbre générale, Paris, PUF, 1984.