Morphisme de groupes

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Un morphisme de groupes ou homomorphisme de groupes est une application entre deux groupes qui respecte la structure de groupe.

Plus précisément, si et sont deux groupes, une application est un morphisme de groupes lorsque

On en déduit alors que

  • f(e) = e' (où e et e' désignent les neutres respectifs de G et G') et
  • xG   f(x−1) = [f(x)]−1.

Un morphisme d'un groupe G dans lui-même est appelé un endomorphisme de G.

On dit que est un isomorphisme de groupes si est un morphisme bijectif. Dans ce cas, est aussi un isomorphisme de groupes. Si de plus , autrement dit si l'isomorphisme est un endomorphisme, on dit que est un automorphisme du groupe .

Un morphisme de groupes transporte la loi de groupe, et va ainsi conserver toutes les propriétés liées à cette loi. Il est donc intéressant d'étudier comment se comportent les principaux objets de la théorie des groupes sous l'effet des morphismes.

Exemple[modifier | modifier le code]

La fonction exponentielle complexe

vérifie :

C'est donc un morphisme de groupes de (ℂ, +) dans (ℂ*, ×) et — par restriction — de (ℝ, +) dans (ℝ+*, ×).

Liens avec les sous-groupes[modifier | modifier le code]

Par un morphisme de groupes

  • l'image réciproque de tout sous-groupe de est un sous-groupe de , et si de plus est normal dans alors est normal dans .
  • l'image directe de tout sous-groupe de est un sous-groupe de , et si de plus est normal dans alors est normal dans (donc dans si est surjectif).

Noyau et image[modifier | modifier le code]

Comme pour toute application, l'image d'un morphisme de groupes est définie par :

et est surjectif si et seulement si son image est égale à .

Le noyau (Kern en allemand, kernel en anglais) est plus spécifique aux morphismes. On appelle noyau du morphisme l'ensemble

et est injectif si et seulement si son noyau est réduit à .

D'après le § précédent, pour tout morphisme , est un sous-groupe de et est un sous-groupe normal de . De plus, si S est une partie génératrice de G, alors f(S) est une partie génératrice de im(f).

Isomorphismes de groupes[modifier | modifier le code]

Un isomorphisme de groupes est un morphisme de groupes qui est bijectif.

Lorsqu'il existe un isomorphisme du groupe vers le groupe , sa bijection réciproque est un isomorphisme du groupe vers le groupe  ; on dit alors que les deux groupes sont isomorphes, ce que l'on note .

Automorphismes de groupe[modifier | modifier le code]

Un automorphisme de groupe est un morphisme qui est à la fois un isomorphisme de groupes et un endomorphisme de groupe

L'ensemble des automorphismes du groupe G est généralement noté Aut(G). C'est un sous-groupe du groupe des bijections de G dans G (muni de la loi de composition).

Théorèmes d'isomorphisme[modifier | modifier le code]

Article détaillé : Théorèmes d'isomorphisme.

Les trois théorèmes d'isomorphisme suivants sont généralisables à d'autres structures que les groupes. Voir notamment Algèbre universelle#Passage au quotient et théorèmes d'isomorphie.

Premier théorème d'isomorphisme[modifier | modifier le code]

f induit un isomorphisme du groupe quotient vers .

On déduit de ce théorème fondamental deux autres théorèmes d'isomorphisme.

Deuxième théorème d'isomorphisme[modifier | modifier le code]

Si N est un sous-groupe normal de G et H un sous-groupe de G, alors est un sous-groupe normal de H et on a l'isomorphisme suivant :

Troisième théorème d'isomorphisme[modifier | modifier le code]

Soient N et M deux sous-groupes normaux de G tels que M soit inclus dans N. Alors N/M est un sous-groupe normal de G/M et on a l'isomorphisme suivant :

Voir aussi[modifier | modifier le code]

Articles connexes[modifier | modifier le code]

Bibliographie[modifier | modifier le code]

  • Josette Calais, Éléments de théorie des groupes, Paris, PUF, 1984.
  • Bernard Charles et Denis Allouch, Algèbre générale, Paris, PUF, 1984.