Transformation naturelle

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En théorie des catégories, une transformation naturelle permet de transformer un foncteur en un autre tout en respectant la structure interne (c'est-à-dire la composition des morphismes) des catégories considérées. On peut ainsi la voir comme un morphisme de foncteurs.

Définition[modifier | modifier le code]

Soient et deux catégories, F et G deux foncteurs covariants de dans . Une transformation naturelle η de F vers G est la donnée, pour tout objet X de , d'un morphisme de  :

,

tel que pour tous objets X et Y de et tout morphisme de X dans Y, le diagramme suivant soit commutatif :

Natural transformation.svg

On peut de même définir la notion de transformation naturelle entre deux foncteurs contravariants en inversant uniquement le sens des flèches horizontales du diagramme ci-dessus.

Si pour tout objet X de , ηX est un isomorphisme, on dit que η est une « équivalence naturelle » ou un « isomorphisme naturel ».

Bibliographie[modifier | modifier le code]

(en) Saunders Mac Lane, Categories for the Working Mathematician [détail de l’édition]


(en) Cet article est partiellement ou en totalité issu de l’article de Wikipédia en anglais intitulé « Natural transformation » (voir la liste des auteurs).