Foncteur

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En mathématiques, dans la théorie des catégories, les catégories sont elles-mêmes des objets mathématiques; et dans cette optique, il n'est pas surprenant qu'il existe une bonne notion de "relation entre catégories". De telles relations sont appelées des foncteurs[1].

Un foncteur est une construction transformant les objets et morphismes d'une catégorie en ceux d'une autre catégorie, d'une façon compatible[2]. On parle alors d'une construction fonctorielle ou de fonctorialité. Une telle construction est donc un morphisme entre deux catégories.

Historiquement, les foncteurs furent introduits en topologie algébrique, associant aux espaces topologiques et aux applications continues des objets algébriques tels que les groupes d'homotopie et les morphismes de groupes, permettant ainsi un véritable calcul d'invariants caractérisant ces espaces.

Définitions[modifier | modifier le code]

Un foncteur covariant (ou simplement foncteur) d'une catégorie dans une catégorie est constitué des données suivantes :

  • pour tout objet de , un objet de , noté [3] ;
  • pour toute flèche de , une flèche de , notée , de source et de but .

On impose les deux axiomes suivants :

  • pour tout objet X de ,  ;
  • pour tout couple de flèches composables de ,

En d'autres termes, un foncteur préserve les domaines et codomaines des morphismes, les flèches identités et la composition.

Un foncteur contravariant G d'une catégorie dans une catégorie est un foncteur covariant de la catégorie opposée op (celle obtenue en inversant le sens des flèches dans ) dans . À tout morphisme f : XY de , il associe donc un morphisme G(f) : G(Y) → G(X) de , et l'on a la « relation de compatibilité » G(gf) = G(f)G(g).

Exemples[modifier | modifier le code]

  • Le foncteur identité d'une catégorie , souvent noté 1 ou id : , qui envoie chaque objet et morphisme de sur lui-même.
  • Considérons trois villes : Paris, Rome et Amsterdam. La catégorie a pour objets ces trois villes. Hom(Paris, Rome) est l'ensemble des chemins de Paris à Rome par exemple. Prenons une carte qui représente ces chemins ; un foncteur consiste à représenter la situation sur une carte avec une perte d'information du fait de l'échelle[4].
  • Les foncteurs d'oubli qui envoient les objets d'une catégorie sur des objets d'une autre catégorie en « oubliant » certaines propriétés de ces objets :
    • le foncteur de Ab dans Grp qui à un groupe abélien associe le groupe lui-même, mais dans la catégorie des groupes (on a « oublié » le fait que le groupe est abélien). On a de même des foncteurs d'oubli[5] de Grp dans la catégorie Mon des monoïdes et dans celle des H-espaces, et de Ab dans la catégorie des monoïdes commutatifs ;
    • le foncteur de Grp dans Set qui à un groupe associe son ensemble sous-jacent (on a « oublié » la structure de groupe) et à tout homomorphisme de groupes f l'application sous-jacente |f|. On définit de même d'autres foncteurs "d'oubli de structure", par exemple: de Top dans Ens; de la catégorie des anneaux dans Ab, de la catégorie des groupes topologiques dans Gr, de la catégorie des variétés analytiques dans la catégorie des variétés différentielles[3]...
  • Pour tout objet X d'une catégorie localement petite, les deux foncteurs Hom : Set : Y ↦ Hom (X, Y) (covariant) et Y ↦ Hom (Y, X) (contravariant). Ces foncteurs sont liés au lemme de Yoneda et à la notion de foncteur représentable.
  • Le foncteur constant est le foncteur qui envoie tous les objets de la catégorie de départ sur le même objet de la catégorie d'arrivée et qui envoie chaque flèche de la catégorie de départ sur l'identité de l'objet image. C'est l'objet terminal de la catégorie des foncteurs.
  • Entre deux monoïdes (qui sont des catégories à un seul objet), les foncteurs covariants sont simplement les morphismes de monoïdes.
  • Un foncteur défini d'une catégorie produit vers une catégorie est souvent appelé bifoncteur.
  • Le théorème de dérivation des fonctions composées exprime la fonctorialité de la différentiation. En effet, notons la catégorie dont les objets sont les entiers naturels, et dont les morphismes sont les matrices réelles à lignes et colonnes avec la multiplication matricielle pour composition. Soit la catégorie dont les objets sont les couples avec et , ayant pour morphismes les fonctions différentiables pointées. Soit un tel morphisme (on a donc ). La différentielle de en s'exprime par la matrice jacobienne de en , données par les dérivées partielles de ses fonctions coordonnées. Cela définit l'action sur les morphismes d'un foncteur . Pour les objets, envoie vers l'entier . Étant donné un autre morphisme, la fonctorialité de correspond à l'égalité , c'est-à-dire au théorème de dérivation des fonctions composées. Plus généralement, on aurait pu définir les objets de comme les couples ( avec un ouvert de pour un certain , et , avec les applications différentiables pointées entre de tels ouverts comme morphismes[6].
  • Soit un anneau commutatif et un -module. Le produit tensoriel par , qui associe à un -module le produit tensoriel , est un foncteur de la catégorie des -modules vers elle-même. Un autre exemple est donné par l'extension des scalaires.
  • Le foncteur , Ensemble des parties, associe à chaque ensemble l'ensemble de tous ses sous-ensembles et à chaque fonction la fonction qui applique chaque sous-ensemble de sur son image (incluse dans )[7].
  • Soit la catégorie des espaces vectoriels sur un corps K. On définit un foncteur contravariant de la catégorie dans elle-même en faisant correspondre à tout-espace vectoriel E son dual E* et à toute application linéaire u : EF sa transposée tu : F* → E*.[8]

Propriétés de foncteurs[modifier | modifier le code]

Foncteurs fidèles, pleins, pleinement fidèles[modifier | modifier le code]

On dit qu'un foncteur F : est :

  • fidèle si deux morphismes f, g : XY dans sont égaux dès que leurs images F(f), F(g) : F(X) → F(Y) dans le sont ;
  • plein si tout morphisme F(X) → F(Y) est égal à un F(f) ;
  • pleinement fidèle s'il est à la fois fidèle et plein.
Exemples
  • Un morphisme de monoïdes (cf. § « Exemples » ci-dessus) est fidèle si et seulement s'il est injectif, et plein si et seulement s'il est surjectif.
  • Les foncteurs d'oubli de Ab dans Grp et de Grp dans Mon sont pleinement fidèles.
  • Le foncteur d'oubli de Grp dans Set est fidèle (mais pas plein) ; plus généralement, si F est l'inclusion d'une sous-catégorie dans une catégorie , alors il est fidèle.

Foncteurs conservatifs[modifier | modifier le code]

Trivialement, tout foncteur F : préserve les isomorphismes, c'est-à-dire que si f est un isomorphisme dans alors F(f) est un isomorphisme dans .

Le foncteur F est dit conservatif si réciproquement, un morphisme f dans est un isomorphisme dès que F(f) en est un dans .

Exemples
  • Un morphisme F de monoïdes (cf. § « Exemples » ci-dessus) est conservatif si et seulement si tout antécédent par F d'un élément inversible est inversible.
  • Tout foncteur pleinement fidèle est conservatif.
  • Le foncteur d'oubli de Grp dans Set est conservatif.

Foncteurs adjoints[modifier | modifier le code]

Soient et deux catégories, F un foncteur de dans et G de dans , tels que pour tout objet et on ait une bijection, naturelle en X et Y,

Alors F est dit adjoint à gauche de G, et G adjoint à droite de F.

Équivalence de catégories[modifier | modifier le code]

Un foncteur F : est appelé une équivalence de catégories s'il existe un foncteur G : et un isomorphisme naturel de foncteurs entre GF (resp. FG) et l'identité sur (resp. ). L'équivalence de catégories est une notion plus générale que celle d'isomorphisme de catégories.

Remarque[modifier | modifier le code]

Les foncteurs sont parfois appelés morphismes pour la catégorie Cat des petites catégories.

Notes et références[modifier | modifier le code]

  1. (en) Tom Leinster, « Basic Category Theory » Accès libre [PDF],
  2. (en) Emily Riehl, Category Theory in Context [détail de l’édition] (lire en ligne), p. xii.
  3. a et b Georges Poitou et Paul Jaffard, Introduction aux catégories et aux problèmes universels, Paris, Ediscience, p. 65.
  4. Cet exemple est proposé par Anatole Khelif (maître de conférences à l'université Paris Diderot) dans Les catégories pour les nuls sur YouTube, .
  5. (en) Horst Schubert (en), Categories, Springer, (lire en ligne).
  6. Riehl, Example 1.3.2 (x) page 14.
  7. Saunders MacLane et Garrett Birkhoff (trad. de l'anglais par Jean Weil), Algèbre et solutions développées des exercices : structures fondamentales, les grands théorèmes, théorie de Galois, Paris, J. Gabay, (ISBN 978-2-87647-138-2, OCLC 490130463), p. 28.
  8. Cet exemple est proposé par Richard Ewen Borcherds dans Categories2:Functors sur YouTube.

Voir aussi[modifier | modifier le code]

Articles connexes[modifier | modifier le code]

Bibliographie[modifier | modifier le code]