Suite exacte

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En mathématiques, plus particulièrement en algèbre homologique, une suite exacte est une suite (finie ou infinie) d'objets et de morphismes entre ces objets telle que l'image de l'un est égale au noyau du suivant.

Définition[modifier | modifier le code]

Dans le contexte de la théorie des groupes, soient des groupes et des morphismes de groupes. On dit que la suite :

est exacte si pour tout entier naturel i on a .

On peut aussi, de même que ces suites exactes infinies à droite, définir les suites exactes infinies à gauche (indexées par exemple par –ℕ), ou infinies des deux côtés (indexées par ℤ)[1]

On peut aussi définir des suites exactes pour d'autres structures et morphismes de ces structures, par exemple des suites exactes d'anneaux, d'algèbres

Exemples importants[modifier | modifier le code]

Dans la suite, 0 dénote le groupe trivial, qui est l'objet nul dans la catégorie des groupes.

  • La suite est exacte si et seulement si f est injective.
  • La suite est exacte si et seulement si g est surjective.
  • La suite est exacte si et seulement si f est bijective.

Suites exactes courtes[modifier | modifier le code]

L'un des exemples les plus importants de suite exacte est celui de suite exacte courte, c'est-à-dire de suite exacte de la forme

En théorie des groupes, une suite exacte courte est parfois appelée extension de groupes.

Suites exactes courtes scindées[modifier | modifier le code]

Pour une suite exacte courte comme ci-dessus,

  • un scindage à gauche est une rétraction de q, c'est-à-dire un morphisme t : BA tel que tq = idA ;
  • un scindage à droite est une section de r, c'est-à-dire un morphisme u : CB tel que ru = idC ;
  • un scindage en biproduit (à la fois somme et produit) est une réalisation par B du biproduit AC pour laquelle q s'identifie à l'injection naturelle de A dans AC et r à la projection naturelle de AC dans C.

Dans la catégorie des groupes abéliens ou des modules sur un anneau et plus généralement dans toute catégorie abélienne, l'existence de ces trois scindages est équivalente[2] et la suite exacte courte est alors dite scindée.

Dans la catégorie (non abélienne) des groupes, cette équivalence n'a pas lieu : une extension de groupes est scindée à droite si et seulement si c'est un produit semi-direct, et scindée à gauche si et seulement si c'est un produit direct[3].

Par exemple pour n > 2, si ι désigne l'inclusion du groupe alterné An dans le groupe symétrique Sn et ϵ la signature, la suite courte

est exacte et scindée à droite (par exemple, le morphisme de groupes envoyant –1 sur n'importe quelle transposition de Sn est une section de ϵ) mais pas à gauche (aucun sous-groupe d'ordre 2 de Sn n'est normal).

Liens avec l'homologie[modifier | modifier le code]

Dans le contexte de la théorie des groupes, soient des groupes et des morphismes de groupes. On dit que la suite est un complexe différentiel si pour tout n, on a , autrement dit : . En particulier, toute suite exacte est un complexe différentiel. On peut aussi considérer des suites exactes de modules, d'anneaux, d'espaces vectoriels

L'homologie d'un complexe différentiel est la mesure de son défaut d'exactitude. Plus précisément, le n-ième groupe d'homologie de est le groupe quotient . La suite est exacte si tous ses groupes d'homologie sont triviaux.

L'homologie est particulièrement utile en topologie et géométrie : on peut associer un complexe différentiel à tout espace topologique ou à toute variété différentielle. Le complexe associé à un espace topologique est un invariant topologique de l'espace, c'est-à-dire que deux espaces homéomorphes ont le même complexe différentiel associé. En particulier, deux espaces topologiques ayant des groupes d'homologie différents ne peuvent pas être homéomorphes.

Notes et références[modifier | modifier le code]

  1. (en) Saunders Mac Lane, Homology, Springer, coll. « Grund. math. Wiss. » (no 114), , 4e éd. (1re éd. 1963) (ISBN 978-3-540-58662-3), p. 27.
  2. Mac Lane 1994, p. 16 sur Google Livres, Proposition 4.3.
  3. (en) Keith Conrad, « Splitting of short exact sequences for groups ».

Article connexe[modifier | modifier le code]

Résolution (algèbre) (en)