Suite exacte

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En mathématiques, plus particulièrement en algèbre homologique, une suite exacte est une suite (finie ou infinie) d'objets et de morphismes entre ces objets telle que l'image de l'un est égal au noyau du suivant.

Définition[modifier | modifier le code]

Dans le contexte de la théorie des groupes, soient \left(G_i\right)_{i\in\N} des groupes et f_i:G_i\rightarrow G_{i+1} des morphismes de groupes. On dit que la suite :


G_0 \xrightarrow{f_0} G_1 \xrightarrow{f_1} \cdots \xrightarrow{f_{i-1}} G_i \xrightarrow{f_i} G_{i+1} \xrightarrow{f_{i+1}} \cdots

est exacte si pour tout entier naturel i on a \mathrm{Im}(f_{i}) = \mathrm{Ker}(f_{i+1}) .

On peut aussi, de même que ces suites exactes infinies à droite, définir les suites exactes infinies à gauche (indexées par exemple par –ℕ), ou infinies des deux côtés (indexées par ℤ)[1]

On peut aussi définir des suites exactes pour d'autres structures et morphismes de ces structures, par exemple des suites exactes d'anneaux, d'algèbres

Exemples importants[modifier | modifier le code]

Dans la suite, 0 dénote le groupe trivial, qui est l'objet nul dans la catégorie des groupes.

  • La suite 0\rightarrow G_1 \xrightarrow{f} G_2 est exacte si et seulement si f est injective.
  • La suite  G_2 \xrightarrow{g} G_3 \rightarrow0 est exacte si et seulement si g est surjective.
  • La suite 0\rightarrow G_1 \xrightarrow{f} G_2 \rightarrow0 est exacte si et seulement si f est un isomorphisme.

Suites exactes courtes[modifier | modifier le code]

L'un des exemples les plus importants de suite exacte est celui de suite exacte courte, c'est-à-dire de suite exacte de la forme

0\rightarrow A \overset{q}{\longrightarrow} B \overset{r}{\longrightarrow} C \rightarrow0.

En théorie des groupes, une suite exacte courte est parfois appelée extension de groupes.

Suites exactes courtes scindées[modifier | modifier le code]

Pour une suite exacte courte comme ci-dessus,

  • un scindage à gauche est une rétraction de q, c'est-à-dire un morphisme t : BA tel que tq = idA ;
  • un scindage à droite est une section de r, c'est-à-dire un morphisme u : CB tel que ru = idC ;
  • un scindage en biproduit (à la fois somme et produit) est une réalisation par B du biproduit AC pour laquelle q s'identifie à l'injection naturelle de A dans AC et r à la projection naturelle de AC dans C.

Dans la catégorie des groupes abéliens ou des modules sur un anneau et plus généralement dans toute catégorie abélienne, l'existence de ces trois scindages est équivalente[2] et la suite exacte courte est alors dite scindée.

Dans la catégorie (non abélienne) des groupes, cette équivalence n'a pas lieu. Une extension de groupe est scindée à droite si et seulement si c'est un produit semi-direct.

Par exemple, si A_3 désigne le groupe alterné d'indice 3, sous-groupe du groupe symétrique S_3 des permutations d'un ensemble à 3 éléments, \iota l'inclusion et \epsilon la signature de S_3, alors la suite

0\rightarrow A_3 \xrightarrow{\iota} S_3 \xrightarrow{\epsilon} \{-1,1\} \rightarrow0

est exacte courte. Elle est scindée à droite (par exemple, le morphisme de groupes s envoyant -1 sur n'importe quel 2-cycle de S_3 est une section de \epsilon) mais pas à gauche (l'image d'un 2-cycle doit être d'ordre 2 et A_3 n'a pas de tel élément). Remarquons aussi que ce produit semi-direct S_3 de A_3 par \{-1,1\} n'est pas direct (car ces deux groupes sont abéliens et S_3 ne l'est pas).

Liens avec l'homologie[modifier | modifier le code]

Dans le contexte de la théorie des groupes, soient \left(G_n\right)_{n\in\N} des groupes et f_n:G_n\rightarrow G_{n+1} des morphismes de groupes. On dit que la suite est un complexe différentiel si pour tout n, on a  f_{n+1}\circ f_n=0, autrement dit : Im(f_n)\subset Ker(f_{n+1}). En particulier, toute suite exacte est un complexe différentiel. On peut aussi considérer des suites exactes de modules, d'anneaux, d'espaces vectoriels

L'homologie d'un complexe différentiel est la mesure de son défaut d'exactitude. Plus précisément, le ne groupe d'homologie de \left(G_n\right)_{n\in\N} est le groupe quotient  H_n=Ker(f_{n+1})/Im(f_n). La suite est exacte si tous ses groupes d'homologie sont triviaux.

L'homologie est particulièrement utile en topologie et géométrie : on peut associer un complexe différentiel à tout espace topologique ou à toute variété différentielle. Le complexe associé à un espace topologique est un invariant topologique de l'espace, i.e. deux espaces homéomorphes auront les mêmes complexes différentiels associés. En particulier, deux espaces topologiques ayant des groupes d'homologie différents ne peuvent pas être homéomorphes.

Notes et références[modifier | modifier le code]

  1. (en) Saunders Mac Lane, Homology, Springer, coll. « Grundlehren der mathematischen Wissenschaften (de) » (no 114),‎ 1994, 4e éd. (1re éd. 1963) (ISBN 978-3-540-58662-3), p. 27
  2. Mac Lane 1994, p. 16, Proposition 4.3

Article connexe[modifier | modifier le code]

Résolution (algèbre) (en)