Faisceau (de modules)

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En mathématique, un faisceau de modules est un faisceau sur un espace localement annelé qui possède une structure de module sur le faisceau structural .

Définition[modifier | modifier le code]

Sur un espace localement annelé , un faisceau de -modules (ou un -Module) est un faisceau sur tel que soit un -module pour tout ouvert , et que pour tout ouvert contenu dans , l'application restriction soit compatible avec les structures de modules: pour tous , on a

.

Les notions de sous--modules et de morphismes de -modules sont claires.

Exemples[modifier | modifier le code]

  • Le faisceau structural est un faisceau de -modules. Les sous-modules de sont des faisceaux d'idéaux de .
  • Si est un morphisme de faisceaux de -modules, alors le noyau, l'image et le conoyau de sont des faisceaux de -modules. Le quotient de par un

sous--Module est un -Module.

  • Si est un ensemble d'indice, la somme directe est définie sur chaque ouvert comme étant , la somme directe de copies de indexées par . C'est un faisceau de -modules libre. Un faisceau de -modules est dit localement libre (de rang ) si tout point de possède un voisinage ouvert sur lequel est libre (de rang ).
  • Si sont des faisceaux de -modules, on définit le faisceau des morphismes de dans par
    (le -module des applications linéaires ). Le dual de est le faisceau des morphismes de dans .
  • Le faisceau associé au préfaisceau est noté . Ses germes en est canoniquement isomorphe à .
  • Soit un morphisme d'espaces localement annelés. Soit un faisceau de -modules. Alors l'image directe est un faisceau de -module.
  • Soit un faisceau de -modules. On définit l'image réciproque (à distinguer de l'image réciproque ) comme étant le produit tensoriel . On a isomorphe à pour tout dans .

Faisceaux quasi-cohérents[modifier | modifier le code]

On dit qu'un faisceau de -modules est engendré par ses sections globales si pour tout point de , l'image de l'homomorphisme canonique engendre comme -module. Cela équivaut à dire qu'il existe un morphisme surjectif de faisceaux de -modules , où est un faisceau de -modules libre.

On dit que est quasi-cohérent si tout point de possède un voisinage ouvert dans lequel est un quotient d'un faisceau de -module libre. Cela veut dire donc que tout point possède un voisinage ouvert tel que soit engendré par ses sections .

Faisceaux cohérents[modifier | modifier le code]

On dit que est cohérent (en) si tout point de possède un voisinage tel que soit quotient d'un faisceau de -modules libre de rang fini (on dit alors que est de type fini) et si pour tout ouvert et pour tout morphisme , le noyau est de type fini.

Référence bibliographique[modifier | modifier le code]

A. Grothendieck et J. Dieudonné, Éléments de géométrie algébrique, chap. 0, § 4-5