Anneau (mathématiques)

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Cet article court présente un sujet plus développé dans : Anneau unitaire et Pseudo-anneau.

En mathématiques, un anneau est une des structures algébriques fondamentales de l'algèbre générale. C'est un ensemble muni de deux opérations binaires, appelées addition et multiplication, et vérifiant certaines propriétés.

Deux définitions différentes sont significativement représentées dans la littérature mathématique :

  • la majorité des sources récentes définit un « anneau » comme un anneau unitaire, exigeant que la multiplication ait un élément neutre ;
  • un nombre non négligeable d'ouvrages n'exige en revanche pas la présence d'une unité multiplicative. La structure qu'ils appellent alors « anneau » est ailleurs dénommée pseudo-anneau.

Les théories des anneaux unitaires et des pseudo-anneaux sont à bien des égards voisines, avec nombre d'énoncés communs. Elles divergent pourtant significativement en quelques points (par exemple les propriétés des idéaux maximaux).

On prendra enfin garde à ce que les textes qui ne traitent que d'algèbre commutative utilisent souvent « anneau » comme un raccourci pour dire « anneau commutatif ».

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