Homologie des groupes

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En algèbre homologique, l'homologie d'un groupe est un invariant attaché à ce groupe.

Pour un groupe G, on note ℤ[G] l'algèbre du groupe G sur l'anneau des entiers relatifs ℤ.

Soient alors M un ℤ[G]-module (ce qui revient à se donner un groupe abélien M et un morphisme de G dans le groupe des automorphismes de M), et \epsilon:F_*\rightarrow M\rightarrow 0 une résolution projective de M.

Les groupes d'homologie de G à coefficients dans M sont définis par :

 H_i(G;M)=H_i(F_*\otimes_{\Z[G]}\Z)

De façon duale les groupes de cohomologie de G à coefficients dans M sont définis par :

 H^i(G;M)=H^i(\mathrm{Hom}_{\Z[G]}(F_*,\Z))

Un résultat standard d'algèbre homologique montre que ces constructions sont indépendantes de la résolution projective F_* choisie.

Voir aussi[modifier | modifier le code]

Articles connexes[modifier | modifier le code]

Lien externe[modifier | modifier le code]

Nicolas Babois, La naissance de la cohomologie des groupes (thèse), Université de Nice, 2009