Schéma (géométrie algébrique)

En mathématiques, les schémas sont les objets de base de la géométrie algébrique, généralisant la notion de variété algébrique de plusieurs façons, telles que la prise en compte des multiplicités, l'unicité des points génériques et le fait d'autoriser des équations à coefficients dans un anneau commutatif quelconque.

Les schémas furent introduits par Alexandre Grothendieck en 1958, puis étudiés en détail dans son traité Éléments de géométrie algébrique (rédigé en collaboration avec Jean Dieudonné) suivi du Séminaire de géométrie algébrique du Bois Marie ; un des objectifs était d'établir le formalisme nécessaire à la démonstration des conjectures de Weil, qui nécessitaient notamment une définition souple de variété définie sur un corps fini.

Basée sur l'algèbre commutative, qui joue un rôle similaire au calcul différentiel en géométrie différentielle, la théorie des schémas permet une utilisation systématique de la topologie et de l'algèbre homologique. La théorie des schémas unifie aussi la géométrie algébrique avec une partie de la théorie des nombres, ce qui a notamment permis la démonstration du dernier théorème de Fermat.

Formellement, un schéma est un espace topologique localement annelé, localement isomorphe au spectre d'un anneau commutatif muni de son faisceau structural (aussi appelé schéma affine).

Le point de vue relatif en géométrie algébrique met l'accent sur l'étude des morphismes de schémas $X\rightarrow S$ (on dit que $X$ est un schéma au-dessus de $S$), plutôt que sur l'étude d'un schéma donné. Par exemple, dans l'étude des surfaces algébriques, il peut être utile de considérer des familles de surfaces algébriques au-dessus d'un schéma $S$ quelconque. Dans de nombreux cas, la famille de toutes les variétés d'un certain type peut même être vue comme une variété ou un schéma, appelé un espace de modules.

La définition des schémas fut le point de départ d'une large refonte de la géométrie algébrique, qui donna lieu à l'introduction de notions telles que la cohomologie étale, les champs algébriques ou une formalisation géométrique de la théorie de Galois au travers du groupe fondamental étale (en).

Histoire

La géométrie algébrique est principalement née de l'étude des équations polynomiales à coefficients dans les nombres réels. Au XIX^e siècle, il est devenu clair (avec les travaux de Jean-Victor Poncelet et Bernhard Riemann) que la géométrie algébrique était simplifiée si l'on travaillait plutôt avec des variétés complexes, c'est-à-dire sur le corps des nombres complexes, qui a l'avantage d'être algébriquement clos. Deux problèmes attirent graduellement l'attention au début du XX^e siècle, motivés en partie par des problèmes en théorie des nombres : peut-on développer la géométrie algébrique sur un corps algébriquement clos quelconque, en particulier en caractéristique positive ? Qu'en est-t-il sur un corps quelconque ? D'autres méthodes sont alors nécessaires, car les outils de la topologie et de l'analyse complexe, utilisés pour étudier les variétés complexes, ne semblent pas s'appliquer dans ces cadres généraux.

Le théorème des zéros de Hilbert suggère une approche pour fonder la géométrie algébrique sur un corps algébriquement clos $k$ quelconque : les idéaux maximaux de l'anneau de polynômes en $n$ variables $k[X_{1},\dots ,X_{n}]$ sont en bijection avec l'ensemble $k^{n}$de $n$-uplets d'éléments de $k$, et les idéaux premiers correspondent aux ensembles algébriques irréductibles de $k^{n}$, aussi appelés variétés algébriques affines. Motivés par ces idées, Emmy Noether et Wolfgang Krull développent l'algèbre commutative dans les années 1920 et 1930. Leurs travaux généralisent la géométrie algébrique dans une direction purement algébrique : au lieu d'étudier les idéaux premiers d'un anneau de polynômes, on peut étudier les idéaux premiers d'un anneau commutatif quelconque. Ainsi, Krull définit la dimension d'un anneau commutatif quelconque en termes de ses idéaux premiers. Si l'anneau est de plus supposé noethérien, il montre plusieurs propriétés attendues d'une notion géométrique de dimension.

L'algèbre commutative de Noether et Krull peut être vue comme une approche algébrique des variétés algébriques affines. Néanmoins, de nombreux arguments en géométrie algébrique fonctionnent mieux dans le cadre de variétés projectives, essentiellement car ces dernières sont compactes. Des années 1920 aux années 1940, Bartel Leendert van der Waerden, André Weil et Oscar Zariski utilisent l'algèbre commutative pour fonder la géométrie algébrique dans le cadre enrichi des variétés projectives (ou quasi-projectives). En particulier, la topologie de Zariski est une topologie adaptée pour les variétés algébriques sur un corps algébriquement clos, remplaçant par certains aspects la topologie classique d'une variété complexe (induite par la topologie sur les nombres complexes).

Pour les applications à la théorie des nombres, van der Waerden et Weil définissent la géométrie algébrique sur un corps quelconque, pas forcément algébriquement clos. Weil est le premier à définir une variété abstraite (non plongée dans un espace projectif) en recollant des variétés affines le long d'ensembles d'ouverts, de façon analogue à la définition d'une variété différentielle en géométrie différentielle. Ce niveau d'abstraction est alors nécessaire pour définir la variété jacobienne d'une courbe sur un corps quelconque (Weil, Wei-Liang Chow (en) et Teruhisa Matsusaka (en) démontrent plus tard que les jacobiennes sont bien des variétés projectives).

L'école italienne de géométrie algébrique, principalement active entre la fin du XIX^e siècle et la première moitié du XX^e siècle et très influente sur les travaux de van der Waerden, Weil et Zariski, avait fréquemment utilisé de façon imprécise la notion de point générique d'une variété algébrique, avec l'idée que les propriétés vraies pour le point générique étant souvent vraies pour la plupart des points de la variété. En 1946, dans Foundations of Algebraic Geometry, André Weil définit les points génériques en les considérant dans un corps algébriquement clos très gros, appelé domaine universel. Cette définition n'est alors pas complètement satisfaisante, car une même variété peut ainsi avoir de nombreux points génériques. Ce problème est corrigé dans la théorie des schémas, dans laquelle un schéma admet un point générique si et seulement s'il est irréductible, et ce point générique est alors unique.

Dans les années 1950, Claude Chevalley, Masayoshi Nagata et Jean-Pierre Serre étendent les objets de la géométrie algébrique en généralisant les anneaux de base considérés, motivés en partie par les conjectures de Weil (finalement démontrées en 1974 par Pierre Deligne en utilisant toute la force de la théorie des schémas), qui relient la théorie des nombres à la géométrie algébrique. Le mot schéma est utilisé pour la première fois dans le séminaire Chevalley en 1956, où Chevalley, s'intéressant aux idées de Zariski, définit la notion de schéma pour les schémas en termes modernes dits irréductibles et dont les corps résiduels des germes du faisceau structural sont tous égaux. Vers l'année 1958, après plusieurs tentatives infructueuses notamment de Serre, Alexandre Grothendieck parvient à définir une notion générale de schéma. Selon Pierre Cartier, c'est André Martineau qui a suggéré à Serre la possibilité d'utiliser le spectre d'un anneau commutatif arbitraire comme fondement de la géométrie algébrique, notion ensuite utilisée par Grothendieck.

La théorie des schémas est ensuite développée dans un grand traité des fondements de la géométrie algébrique, les Éléments de géométrie algébrique, inachevé et plus connu des mathématiciens sous le nom des EGA, rédigés par Grothendieck avec la collaboration de Jean Dieudonné et publiés entre 1960 et 1967 par l'Institut des hautes études scientifiques. Ce traité est partiellement complété, sous une forme moins achevée, dans les notes du Séminaire de géométrie algébrique du Bois Marie (aussi connu sous le nom de SGA) qui se tient entre les années 1960 et 1969, animé par Grothendieck.

Intuition

Un schéma est avant tout un objet géométrique. Telle qu'elle a été inventée, cette notion généralise la notion de variété algébrique. À une variété algébrique sur un corps, la théorie des schémas ajoute des points qui ne sont pas nécessairement fermés (grosso modo, ce sont des points dont les coordonnées sont des variables).

Un schéma généralise aussi une variété algébrique en prenant en compte les multiplicités. Ainsi, les équations $x=0$ et $x^{2}=0$ définissant la même variété algébrique sur un corps $k$, mais des schémas différents : $\mathrm {Spec} \,k[X]/X\neq \mathrm {Spec} \,k[X]/X^{2}$. En effet, le deuxième schéma possède un élément nilpotent (ou plutôt, une section globale nilpotente), mais pas le premier.

Un schéma peut par ailleurs être défini sur un anneau quelconque, ce qui permet de s'appliquer à des situations issues de la théorie des nombres (les équations diophantiennes, telle que l'équation de Fermat, étant définies sur les entiers relatifs).

En théorie des nombres, pour étudier les propriétés arithmétiques d'une variété algébrique $V$ sur $\mathbb {Q}$, il est utile de connaître son comportement « modulo $p$ » pour tout nombre premier $p$. Pour ce faire, on essaie d'étendre $V$ d'une manière raisonnable en un schéma sur l'anneau $\mathbb {Z}$ des entiers relatifs. Ce schéma peut être vu comme une famille de variétés algébriques $(V,(V_{p})_{p})$ où $V_{p}$ est une variété algébrique sur le corps fini premier $\mathbb {F} _{p}$.

Définition

Schéma affine

Un schéma affine est un espace topologique localement annelé isomorphe (en tant qu'espace localement annelé) au spectre d'un anneau commutatif muni de son faisceau structural. Concrètement, le spectre $\mathrm {Spec} \,A$ d'un anneau commutatif $A$ est l'ensemble des idéaux premiers de $A$ muni de sa topologie de Zariski. Il est munit d'une structure d'espace localement annelé par le faisceau ${\mathcal {O}}_{\mathrm {Spec} \,A}$ associé au préfaisceau qui à un ouvert $U$ de $\mathrm {Spec} \,A$ associe le localisé $S(U)^{-1}A$ de $A$ par rapport à la partie multiplicative $S(U)$ constituée des éléments de $A$ (vus comme des fonctions sur $\mathrm {Spec} \,A$) ne s'annulant pas sur $U$. Les sections globales du faisceau structural sont données par ${\mathcal {O}}_{\mathrm {Spec} \,A}(\mathrm {Spec} \,A)\simeq A$ et les germes sont égaux, pour tout point $x$ de $X$, à ${\mathcal {O}}_{\mathrm {Spec} \,A,x}\simeq A_{\mathfrak {p}}$, où ${\mathfrak {p}}$ est l'idéal premier associé à $x$.

Schéma

Un schéma est un espace topologique localement annelé $(X,{\mathcal {O}}_{X})$ localement isomorphe à un schéma affine (en tant qu'espaces localement annelés), c'est-à-dire que pour tout point $x$ de $X$, on peut trouver un voisinage ouvert $U$ de $x$ et un anneau commutatif $A$ tel que les espaces localement annelés $(U,{\mathcal {O}}_{X}\vert _{U})$ et $(\mathrm {Spec} \,A,{\mathcal {O}}_{\mathrm {Spec} \,A})$ soient isomorphes. Un morphisme de schémas est simplement un morphisme d'espaces localement annelés.

On peut faire l'analogie avec une variété différentielle, qui peut être vue comme un espace localement annelé en $\mathbb {R}$-algèbres localement isomorphe à un ouvert de $\mathbb {R} ^{n}$ muni de son faisceau des fonctions ${\mathcal {C}}^{\infty }$.

Exemples

• Si $A$ est un anneau commutatif et $f$ est un élément de $A$ vu comme une fonction sur $\mathrm {Spec} \,A$, alors l'ouvert $\lbrace f\neq 0\rbrace$ des éléments de $\mathrm {Spec} \,A$ n'annulant pas $A$ est un schéma affine, isomorphe au spectre de $A[f^{-1}]$, le localisé de $A$ par rapport à la partie multiplicative engendrée par $f$. Ainsi, tout schéma affine admet une base d'ouverts qui sont des schémas affines, et il en va donc de même pour tout schéma.
• Si $k$ est un corps (ou plus généralement un anneau), le schéma associé à $\mathrm {Spec} \,k[T_{1},\ldots T_{n}]$ est appelé l'espace affine de dimension $n$ sur $k$, parfois noté $\mathbb {A} _{k}^{n}$. En général, si $S$ est un schéma, on appelle espace affine de dimension $n$ relatif à $S$ le produit fibré $\mathbb {A} _{S}^{n}:=\mathbb {A} _{\mathbb {Z} }^{n}\times _{\mathbb {Z} }S$.
• Soit $k$ un corps et $U$ l'ouvert complémentaire du point fermé $\lbrace (0,0)\rbrace$ (correspondant à l'idéal premier engendré par $X$ et $Y$) dans le schéma affine $\mathbb {A} _{k}^{2}=\mathrm {Spec} \,k[X,Y]$. L'ouvert $U$ est un schéma, puisqu'il admet un recouvrement par des schémas affines $U=\lbrace X\neq 0\rbrace \cup \lbrace Y\neq 0\rbrace$. Ce n'est en revanche pas un schéma affine, car il n'est pas isomorphe au schéma affine engendré par l'anneau ${\mathcal {O}}_{U}(U)={\mathcal {O}}_{\mathbb {A} _{k}^{2}}\vert _{U}(U)\simeq k[X,Y]$ des sections globales de son faisceau structural (qui est isomorphe à $\mathbb {A} _{k}^{2}$).

Schémas au-dessus d'un schéma fixé

On fixe un schéma $S$. Un $S$-schéma est un schéma $X$ muni d'un morphisme de schémas $\pi \colon X\to S$, lequel morphisme est appelé le morphisme structural du $S$-schéma, et $S$ est appelé schéma de base. Dans les notations, on omet souvent le morphisme structural. Lorsque $S$ est un schéma affine d'anneau $A$, on parle aussi de $A$-schéma au lieu de $S$-schéma.

Tout schéma est, de façon unique, un ${\mathbb {Z} }$-schéma. Cela vient du fait qu'il existe un unique homomorphisme d'anneaux de ${\mathbb {Z} }$ dans un anneau donné.

Si $X,Y$ sont des $S$-schémas, un morphisme de $S$-schémas de $X$ dans $Y$ est un morphisme de schémas $f\colon X\to Y$ qui est compatible avec les morphismes structuraux : $\pi _{Y}f=\pi _{X}$.

Définitions supplémentaires

Propriétés de schémas

Si $X$ est un schéma, un sous-schéma ouvert de $X$ est un ouvert $U$ de $X$ muni du faisceau ${\mathcal {O}}_{X}|_{U}$. C'est un espace localement annelé, et en fait un schéma. Un ouvert de $X$ est toujours muni de cette structure de sous-schéma ouvert.

Un schéma affine ${\rm {Spec}}\ A$ est dit noethérien si $A$ est un anneau noethérien. Un schéma noethérien est un schéma qui est réunion finie d'ouverts affines noethériens. Un schéma est dit localement noethérien si c'est un schéma dont tout point possède un voisinage ouvert affine noethérien.

Un schéma régulier est un schéma localement noethérien $X$ tel que ses anneaux locaux ${\mathcal {O}}_{X,x}$ sont réguliers en tout point $x$.

Un schéma réduit est un schéma tel que l'anneau ${\mathcal {O}}_{X}(U)$ soit réduit (i.e. sans élément nilpotent non nul) pour tout ouvert $U$.

On dit que $X$ est irréductible (resp. connexe) si l'espace topologique sous-jacent vérifie cette propriété.

On dit que $X$ est intègre s'il est à la fois irréductible et réduit. Cela revient à dire que l'anneau ${\mathcal {O}}_{X}(U)$ est intègre pour tout ouvert $U$.

Propriétés de morphismes

Un morphisme de schémas $f\colon X\to Y$ entre deux schémas est simplement un morphisme en tant qu'espaces localement annelés.

Un morphisme de schémas $f\colon X\to {\rm {Spec}}\ A$ induit via le morphisme de faisceaux ${\mathcal {O}}_{{\rm {Spec}}\ A}\to f_{*}{\mathcal {O}}_{X}$ un homomorphisme d'anneaux $A\to {\mathcal {O}}_{X}(X)$.

Proposition — L'application canonique ${\rm {Hom}}_{\rm {Sch}}(X,{\rm {Spec}}\ A)\to {\rm {Hom}}_{\rm {Ann}}(A,{\mathcal {O}}_{X}(X))$ est bijective et fonctorielle en $A$ et en $X$. En particulier,

• se donner une structure de $A$-schéma sur $X$ équivaut à se donner une structure de $A$-algèbre sur ${\mathcal {O}}_{X}(X)$,
• la catégorie des schémas affines est anti-équivalente à la catégorie des anneaux commutatifs unitaires, via le foncteur $X\mapsto {\mathcal {O}}_{X}(X)$, dont le foncteur $A\mapsto {\rm {Spec}}\,A$ est un pseudo-inverse.

Un morphisme affine est un morphisme $f\colon X\to Y$ tel que pour tout ouvert affine $V$ de $Y$, l'image réciproque $f^{-1}(V)$ soit affine. On montre qu'il suffit pour cela que $Y$ soit recouvert par des ouverts affines $V_{i}$ dont les images réciproques dans $X$ soient affines.

Un morphisme fini est un morphisme affine $f$ comme ci-dessus tel que de plus ${\mathcal {O}}_{X}(f^{-1}(V))$ soit fini sur ${\mathcal {O}}_{Y}(V)$ en tant que module. Il suffit que cette propriété soit vérifiée pour un recouvrement affine particulier de $Y$.

La catégorie des schémas

Définitions

Munis de leur morphismes, les schémas forment une catégorie, souvent notée Sch, forme une sous-catégorie pleine de la catégorie EspLocAnn des espaces localement annelés. Il est à noter que la catégorie des espaces localement annelés est une sous-catégorie de la catégorie des espaces annelés qui n'est pas pleine, puisque l'on demande que les morphismes induisent des morphismes d'anneaux locaux sur les germes des faisceaux.

Les schémas affines forment une sous-catégorie pleine SchAff de la catégorie Sch des schémas. Le foncteur contravariant $A\mapsto \mathrm {Spec} \,A$ induit une anti-équivalence entre la catégorie des anneaux et celle des schémas affines, dont $X\mapsto {\mathcal {O}}_{X}(X)$ est un pseudo-inverse.

Pour un schéma $S$ donné, les $S$-schémas et les morphismes de $S$-schémas forment une catégorie, appelée la catégorie des $S$-schémas, souvent notée Sch_S ou Sch/S, qui n'est autre que la catégorie quotient de Sch par $S$.

Colimites

La catégorie EspLocAnn des espaces localement annelés admet des colimites, mais pas celle des schémas en toute généralité. En effet, puisque la Sch est une sous-catégorie pleine de EspLocAnn, si la colimite d'un diagramme dans Sch existe, alors elle coïncide avec sa colimite dans EspLocAnn qui doit donc être un schéma, ce qui n'est pas toujours le cas.

En revanche, si ${\mathcal {D}}=((S_{i})_{i\in I},(E_{i,j})_{i,j\in I})$est un diagramme de la catégorie des schémas et que $S$ désigne sa colimite dans EspLocAnn, alors il suffit que les morphismes canoniques $S_{i}\to S$ soient des immersions ouvertes pour que $S$ soit un schéma (c'est-à-dire qu'ils induisent des isomorphismes entre les $S_{i}$ et des ouverts de $S$). En particulier, la catégorie des schémas admet des réunions disjointes.

Exemples

• Soit $k$ un corps. La droite projective $\mathbb {P} _{k}^{1}$ sur $k$ est donnée par le recollement des deux schémas isomorphes $S=\mathrm {Spec} \,k[X]$ et $T=\mathrm {Spec} \,k[Y]$ le long des ouverts $U=\lbrace X\neq 0\rbrace \simeq \mathrm {Spec} \,k[X,X^{-1}]\subset S$ et $V=\lbrace Y\neq 0\rbrace \simeq \mathrm {Spec} \,k[Y,Y^{-1}]\subset T$ via l'isomorphisme $V\,{\overset {\sim }{\longrightarrow }}\,U$ induit par l'isomorphisme des sections globales $k[X,X^{-1}]\,{\overset {\sim }{\longrightarrow }}\,k[Y,Y^{-1}]$ défini par $X\mapsto Y^{-1}$ et $X^{-1}\mapsto Y$. Le schéma $\mathbb {P} _{k}^{1}$ ainsi obtenu n'est pas un schéma affine, puisque l'anneau de ses sections globales ${\mathcal {O}}_{\mathbb {P} _{k}^{1}}(\mathbb {P} _{k}^{1})$ est isomorphe à $k$, ce qui est à attendre : sur $\mathbb {C}$, le principe du maximum impose que les seules fonctions holomorphes sur la surface de Riemann $\mathbb {P} _{\mathbb {C} }^{1}$ sont données par les constantes. Ce n'est pas non plus l'ouvert d'un schéma affine.

Produits fibrés

Une construction importante dans la catégorie des schémas et celle des produits fibrés. La catégorie des anneaux admets des sommes amalgamées. En effet, si $A$ est un anneau et si $B$ et $C$ sont deux $A$-algèbres (c'est-à-dire deux anneaux munis de morphismes $A\to B$ et $A\to C$), alors la somme amalgamée de $B$ et $C$ le long de $A$ est donnée par le produit tensoriel $B\otimes _{A}C$. Puisque la catégorie des schémas affines est anti-équivalente à celle des anneaux via $A\mapsto \mathrm {Spec} \,A$, elle admet des produits fibrés, donnés par $\mathrm {Spec} \,B\times _{\mathrm {Spec} \,A}\mathrm {Spec} \,C:=\mathrm {Spec} \,B\otimes _{A}C$. La catégorie des schémas admet alors des produits fibrés, par recollement précautionneux des produits fibrés de la catégorie des schémas affines. Ainsi, si $S$, $X$ et $Y$ sont trois schémas munis de deux morphismes $f:X\to S$ et $g:Y\to S$, alors le produit fibré $X\times _{S}Y$ existe dans la catégorie des schémas.

On peut reformuler l'existence de produits fibrés comme l'existence de changements de base dans la catégorie des schémas. En effet, si $S$ est un schéma et $X$ est un $S$-schéma, alors pour $T$ un schéma muni d'un morphisme $g:T\to S$, le produit fibré $X\times _{S}T$ peut être vu comme un $T$-schéma pour la projection canonique $X\times _{S}T\to T$ donnée par le produit fibré.

Exemples

• Soit $k$ un corps, on a $\mathbb {A} _{k}^{1}\times _{\mathrm {Spec} \,k}\mathbb {A} _{k}^{1}=\mathrm {Spec} \,k[X]\otimes _{k}k[Y]=\mathrm {Spec} \,k[X,Y]=\mathbb {A} _{k}^{2}$ et plus généralement, pour un schéma $S$ et deux entiers $n,m$ donnés, $\mathbb {A} _{S}^{n}\times _{S}\mathbb {A} _{S}^{m}\simeq \mathbb {A} _{S}^{n+m}$.
• Soit $S$ un schéma et $T$ un schéma muni d'un morphisme $g:T\to S$. Le produit fibré $\mathbb {A} _{S}^{n}\times _{S}T$ est isomorphe à l'espace affine à $n$ dimensions $\mathbb {A} _{T}^{n}$ sur $T$, d'où le terme de changement de base, ici de $S$ vers $T$.

Voir aussi

Article connexe

• Variété algébrique
• Géométrie birationnelle
• Cohomologie étale
• Schéma en groupes (en), Variété abélienne

Bibliographie

• Alexander Grothendieck et Jean Dieudonné, Éléments de géométrie algébrique, I - IV, Publ. Math. IHES, 1960 - 1967
• (en) Robin Hartshorne, Algebraic Geometry [détail des éditions]
• Alexandre Grothendieck, Séminaire de Géométrie Algébrique du Bois Marie - 1960-61 : Revêtements étales et groupe fondamental - (SGA 1), Berlin, New York, Springer-Verlag, coll. « Lecture Notes in Mathematics » (n^o 224), 1971, xxii+447 (ISBN 978-3-540-05614-0, DOI 10.1007/BFb0058656)
• (en) Qing Liu, Algebraic Geometry and Arithmetic Curves [détail de l’édition]