Lemme de Yoneda

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En théorie des catégories, le lemme de Yoneda, attribué au mathématicien japonais Nobuo Yoneda (de), est un théorème de plongement d'une catégorie C localement petite[1] dans une catégorie de foncteurs : les objets de C sont identifiés aux foncteurs représentables, et les morphismes de C à toutes les transformations naturelles entre ces foncteurs. C'est une vaste généralisation du théorème de Cayley pour les groupes (vus comme des petites catégories à un seul objet)[2]. Une des conséquences du lemme de Yoneda est le théorème des modèles acycliques (en), qui a de nombreuses utilisations en homologie et en géométrie algébrique.

Lemme de Yoneda[modifier | modifier le code]

Soit C une catégorie localement petite, c'est-à-dire dans laquelle, pour tous objets A et X, les morphismes de A dans X forment un ensemble et pas seulement une classe.

  • Un objet A de C définit un foncteur Hom covariant hA de C dans la catégorie Ens des ensembles par :
    X\mapsto h^A(X)=\mathrm{Hom}_C(A,X),
    f\mapsto h^A(f)=(g \mapsto f \circ g).
    De la sorte, on dispose d'un foncteur contravariant h de C dans la catégorie Fun(C, Ens) des foncteurs covariants de C dans Ens. Tout morphisme de A dans B dans la catégorie C induit une transformation naturelle de hB dans hA. Le lemme de Yoneda affirme que toute transformation naturelle de hB dans hA est de cette forme ; mieux, il caractérise l'ensemble des transformations naturelles de hA dans n'importe quel foncteur de C dans Ens.
    Le lemme de Yoneda montre que le foncteur contravariant h est pleinement fidèle ; la catégorie duale Cop se trouve ainsi plongée dans Fun(C, Ens).
  • En remplaçant C par Cop, on en déduit une version similaire, concernant le foncteur covariant h : AhA = HomC(–, A), de C dans la catégorie de préfaisceaux Fun(Cop, Ens), c'est-à-dire la catégorie des foncteurs contravariants de C dans Ens. Ce foncteur h, appelé le plongement de Yoneda, plonge canoniquement C dans la catégorie Fun(Cop, Ens), qui a l'intérêt d'être cocomplète (en), c'est-à-dire de posséder toutes les petites colimites. Il s'agit de la « cocomplétion universelle » de C.

Dans la suite, il ne sera question que de la première version.

Énoncé[modifier | modifier le code]

Pour tout objet A de C, toute transformation naturelle \psi de hA sur un foncteur T : CEns est uniquement déterminée par l'élément de T(A) défini comme l'image de \mathrm{id}_A\in h^A(A) par \psi(A). Plus précisément, on dispose d'une bijection :

\mathrm{Nat}(h^A,T)\overset\sim\to T(A),
\psi\mapsto\psi(A)(\mathrm{id}_A).

En particulier, pour tous objets A et B de C, on a :

\mathrm{Nat}(h^A,h^B)\simeq h^B(A)=\mathrm{Hom}_C(B,A).

Preuve[modifier | modifier le code]

Injectivité[modifier | modifier le code]

Avec les notations ci-dessus, considérons \psi une transformation naturelle de hA sur T. Pour tout élément f dans h^A(B)=\mathrm{Hom}_C(A,B), on a :

f=h^A(f)(\mathrm{id}_A)\,

En appliquant à cette identité l'application ensembliste \psi(B):h^A(B)\rightarrow T(B), on obtient :

\psi(B)(f)=\psi(B)\left[h^A(f)(\mathrm{id}_A)\right]=T(f)\left[\psi(A)(\mathrm{id}_A)\right]

où la seconde égalité vient de la définition d'une transformation naturelle. L'élément \psi(B)(f) est donc l'image de \psi(A)(\mathrm{id}_A) par T(f). De fait, en faisant varier f, on montre que \psi est uniquement déterminé par \psi(A)(\mathrm{id}_A). L'application énoncée est injective.

Surjectivité[modifier | modifier le code]

Soit un élément v de T(A). La preuve de l'injectivité permet de deviner un antécédent de v (forcément unique). Pour tout objet B de C, définissons :

\psi_v(B):h^A(B)\rightarrow T(B)\,
f\mapsto T(f)(v)

Vérifions que \psi_v est bien une transformation naturelle. Pour toute flèche g : BC et pour tout élément f de hA(B), on est en mesure d'écrire :

T(g)\left[\psi_v(B)(f)\right]=T(g)\left[T(f)(v)\right]=T\left[g.f\right](v)=\psi_v(C)(g.f)

Or, la composée g.f peut être regardée comme l'image de f par hA(g). Donc, l'identité obtenue se réécrit :

T(g)\left[\psi_v(B)(f)\right]=\psi_v(C)\left[h^A(g)(f)\right]

En faisant varier f :

T(g)\circ \psi_v(B)=\psi_v(C)\circ h^A(g)

Cela étant vérifié pour toute flèche g, \psi_v est bien un foncteur de hA sur T et son image est presque par définition v (on l'a défini pour).

Notes et références[modifier | modifier le code]

  1. (en) Roy L. Crole, Categories for Types, CUP,‎ 1993 (ISBN 978-0-521-45701-9, lire en ligne), p. 63-64.
  2. Crole 1993, p. 66.

Article connexe[modifier | modifier le code]

Théorème de représentabilité de Brown (en)