Morphisme

Un article de Wikipédia, l'encyclopédie libre.
Aller à : navigation, rechercher

En mathématiques, le terme « morphisme » désigne une notion fondamentale permettant de comparer et de relier des objets mathématiques entre eux. En algèbre générale, un morphisme (ou homomorphisme) est une application entre deux structures algébriques de même espèce, c'est-à-dire des ensembles munis de lois de composition interne ou externe (par exemple deux groupes ou deux espaces vectoriels), qui respecte certaines propriétés en passant d'une structure à l'autre. Plus généralement, la notion de morphisme est un des concepts de base en théorie des catégories ; ce n'est alors pas forcément une application, mais une « flèche » reliant deux « objets » ou « structures » qui ne sont pas forcément des ensembles.

Les morphismes ont des applications importantes en physique, en particulier en mécanique quantique.

Définitions[modifier | modifier le code]

Cas général (théorie des modèles)[modifier | modifier le code]

Soient \mathcal M et \mathcal N deux \mathcal L-structures d'ensembles respectifs M et N. Un morphisme de \mathcal M dans \mathcal N est une application m de M dans N telle que :

  • pour toute fonction n-aire f \in \mathcal L et pour tout (a_i)_i \in M^n on a m(f^{\mathcal M}(a_i)_i )=f^{\mathcal N}(m(a_i))_i (y compris pour n = 0, qui correspond au cas des constantes) ;
  • pour toute relation n-aire R \in \mathcal L et pour tout (a_i)_i  \in M^n, si (a_i)_i \in R^{\mathcal M} alors (m(a_i))_i  \in R^{\mathcal N}

avec c^{\mathcal N} désignant le symbole c dans la structure \mathcal N.

Cas des groupes[modifier | modifier le code]

Article détaillé : Morphisme de groupes.

Dans la catégorie des groupes, un morphisme est une application f : (G, *) \longrightarrow (G', \star)\,, entre deux groupes (G, *)\, et (G', \star)\,, qui vérifie :

  • \forall (g,h) \in G^2,~ f(g * h) = f(g) \star f(h).

Cas des anneaux[modifier | modifier le code]

Article détaillé : Morphisme d'anneaux.

Dans la catégorie des anneaux, un morphisme est une application f:A\to B entre deux anneaux (unitaires), qui vérifie les trois conditions :

  • \forall a, b \in A,~ f(a +_A b) = f(a) +_B f(b),
  • \forall a, b \in A,~ f(a *_A b) = f(a) *_B f(b),
  • f\left(1_A\right)=1_{B},

dans lesquelles +_A, *_A et 1_A (respectivement +_B, *_B et 1_B) désignent les opérations et neutre multiplicatif respectifs des deux anneaux A et B.

Cas des espaces vectoriels[modifier | modifier le code]

Article détaillé : Application linéaire.

Dans la catégorie des espaces vectoriels (en) sur un corps K fixé, un morphisme est une application f:E\to F, entre deux K-espaces vectoriels (E,+,.) et (F,\dot{+},.), qui est linéaire c'est-à-dire qui vérifie :

  • f est un morphisme de groupes de (E,+) dans (F,\dot{+}),
  • \forall x\in E ,~ \forall \lambda\in K,~  f(\lambda . x ) = \lambda . f(x),

ce qui est équivalent à :

\forall (x,y)\in E \times E ,~ \forall \lambda \in K,~ f(\lambda . x + y) = \lambda . f(x) \dot{+} f(y).

Cas des algèbres[modifier | modifier le code]

Dans le cas de deux K-algèbres unifères (A, +, \times, .) et (B, \dot{+}, \dot{\times}, .), un morphisme vérifie :

  • f est une application linéaire de A dans B,
  • f est un morphisme d’anneaux ;

ce qui est équivalent à :

  • f(1_A)=1_B,
  • \forall (x,y)\in A^2,~\forall (\lambda,\mu) \in K^2,~ f(\lambda .x + \mu .y)  = \lambda .f(x) \dot{+} \mu .f(y),
  • \forall (x,y)\in A^2,~ f(x\times y) = f(x)\dot{\times} f(y).

Cas des ensembles ordonnés[modifier | modifier le code]

Un morphisme entre deux ensembles ordonnés ( A, ⊑ ) et ( B, ≼ ) est une application f de A dans B croissante (qui préserve l'ordre), c'est-à-dire qui vérifie : pour tous x et y dans A tels que xy, on a f(x) ≼ f(y).

Cas des espaces topologiques[modifier | modifier le code]

Article détaillé : Application continue.

Dans la catégorie des espaces topologiques, un morphisme est simplement une application continue entre deux espaces topologiques. Dans le cadre topologique, le mot « morphisme » n'est pas utilisé, mais c'est le même concept.

Classement[modifier | modifier le code]

  • un endomorphisme est un morphisme d'une structure dans elle-même ;
  • un isomorphisme est un morphisme f entre deux ensembles munis de la même espèce de structure, tel qu'il existe un morphisme f' dans le sens inverse, tels que f\circ f' et f'\circ f sont les identités des structures ;
  • un automorphisme est un isomorphisme d'une structure dans elle-même ;
  • un épimorphisme (ou morphisme épique) est un morphisme f : A\to B tel que : pour tout couple g,h de morphismes de type B\to E (et donc aussi pour tout E), si g\circ f=h\circ f, alors g = h ;
  • un monomorphisme (ou morphisme monique) est un morphisme f : A\to B tel que : pour tout couple g,h de morphismes de type E\to A (et donc aussi pour tout E), si f\circ g=f\circ h, alors g = h.

Exemple : l'identité d'un ensemble est toujours un automorphisme, quelle que soit la structure considérée.

Voir aussi[modifier | modifier le code]