Endomorphisme

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En mathématiques, un endomorphisme est un morphisme (ou un homomorphisme) d'un objet mathématique sur lui-même. Ainsi, par exemple, un endomorphisme d'espace vectoriel E est une application linéaire f : EE et un endomorphisme de groupe G est un morphisme de groupes f : GG, etc. En général, nous pouvons parler d'endomorphisme de n'importe quelle catégorie.

Étant donné un objet X d'une catégorie C et deux endomorphismes f et g de X (donc de type XX), la composée de g par f, notée f ∘ g, est aussi un endomorphisme de X (elle a aussi le type XX). Comme l'application identité de X est aussi un endomorphisme de X, nous voyons que l'ensemble de tous les endomorphismes de X forme un monoïde, noté EndC(X) ou simplement End(X) si la catégorie est connue.

Dans de nombreuses situations, il est possible d'additionner les endomorphismes, et avec la composition des applications, les endomorphismes d'un objet donné forment un anneau, appelé l'anneau des endomorphismes (en) de l'objet. Cela est possible, par exemple, dans les catégories des groupes abéliens, des modules, et des espaces vectoriels et plus généralement dans toutes les catégories préadditives (en).

Un isomorphisme est un morphisme qui possède un morphisme réciproque.

Un endomorphisme qui est aussi un isomorphisme est appelé un automorphisme.

On a donc les implications suivantes :

automorphisme isomorphisme
endomorphisme (homo)morphisme

Voir aussi[modifier | modifier le code]


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