Isomorphisme de catégories

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En théorie des catégories, deux catégories et sont isomorphes s'il existe deux foncteurs F : et G : tels que l'un est inverse de l'autre, c'est-à-dire tels que FG = 1D (le foncteur identité de ) et GF = 1C.

Cette notion, assez restrictive, peut être élargie en la notion d'équivalence de catégories.

Exemple[modifier | modifier le code]

Soit la catégorie des espaces topologiques munis d'une topologie d'Alexandroff, et la catégorie des ensembles munis d'un préordre. Alors les deux catégories sont isomorphes au moyen des deux foncteurs suivants :

  • F associe à un espace topologique le même espace, muni de la relation de préordre suivante : si et seulement si x est adhérent à {y}. F transforme une application continue f de X dans Y en la même application, mais vue comme application croissante de F(X) dans F(Y).
  • G associe à un espace préordonné le même espace muni de la topologie engendrée par les ouverts . G transforme une application croissante f de A dans B en la même application, mais vue comme application continue de G(A) dans G(B).