Isomorphisme

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Page d'aide sur l'homonymie Pour l'isomorphisme institutionnel, voir Isomorphisme institutionnel.

En mathématiques, un isomorphisme entre deux ensembles structurés est une application bijective qui préserve la structure et dont la réciproque préserve aussi la structure[1]. Plus généralement en théorie des catégories, un isomorphisme entre deux objets est un morphisme admettant un « morphisme inverse » .

Exemple : sur l'intervalle [1,100], par exemple, des valeurs a, b, c... peuvent être remplacées par leurs logarithmes x, y, z..., et les relations d'ordre entre elles seront parfaitement conservées. On peut à tout moment retrouver les valeurs a, b et c en prenant les exponentielles de x, y et z.

D'autres termes peuvent être utilisés pour désigner un isomorphisme en spécifiant la structure, comme l'homéomorphisme entre espaces topologiques ou le difféomorphisme entre variétés.

Deux objets sont dits isomorphes s'il existe un isomorphisme de l'un vers l'autre. Dans certains contextes, un isomorphisme d'un objet sur lui-même est appelé un automorphisme.

Définitions[modifier | modifier le code]

Algèbre[modifier | modifier le code]

En algèbre, un isomorphisme est un morphisme admettant un inverse qui est lui-même un morphisme, ou plus simplement un morphisme bijectif.

C'est donc une bijection pour laquelle les relations « algébriques » entre les éléments de l'ensemble d'arrivée sont les mêmes que celles entre leurs antécédents respectifs (la structure algébrique est préservée). Ce « méta-concept » mathématique admet une définition formelle en théorie des catégories.

Catégorie[modifier | modifier le code]

Dans une catégorie donnée, un isomorphisme est un morphisme tel qu'il existe un morphisme qui soit « inverse » de à la fois à gauche et à droite

Il suffit pour cela que f possède d'une part un « inverse à gauche » et d'autre part un « inverse à droite » . En effet, on a alors

ce qui prouve en outre l'unicité de l'inverse.

En revanche, l'une ou l'autre de ces deux conditions, à elle seule, ne suffit pas.

Exemples[modifier | modifier le code]

Isomorphismes et morphismes bijectifs[modifier | modifier le code]

Dans une catégorie concrète (c'est-à-dire, grosso modo, une catégorie dont les objets sont des ensembles et les morphismes, des applications entre ces ensembles), comme la catégorie des espaces topologiques ou les catégories d'objets algébriques comme les groupes, les anneaux et les modules, un isomorphisme doit être bijectif. Dans les catégories algébriques (en particulier, les catégories des variétés au sens de l'algèbre universelle), un isomorphisme est un homomorphisme bijectif. Toutefois, il existe des catégories concrètes dans lesquelles les morphismes bijectifs ne sont pas nécessairement des isomorphismes (comme la catégorie des espaces topologiques), et dans certaines catégories où tout objet admet un ensemble sous-jacent, les isomorphismes ne sont pas forcément bijectifs (comme la catégorie d'homotopie des CW-complexes).

Propriétés[modifier | modifier le code]

Un isomorphisme est à la fois un épimorphisme et un monomorphisme, mais la réciproque est fausse en général : il existe des morphismes à la fois épiques et moniques qui ne sont pas des isomorphismes.

Pour plus de détails, voir : Propriétés des morphismes dans les catégories.

Objets isomorphes[modifier | modifier le code]

Deux objets reliés par un isomorphisme sont dits isomorphes.

Exemple : le groupe de Klein est isomorphe à ℤ/2ℤ × ℤ/2ℤ.

Savoir que deux objets sont isomorphes présente un grand intérêt car cela permet de transposer des résultats et propriétés démontrés de l'un à l'autre.

Selon certains points de vue, deux objets isomorphes peuvent être considérés comme identiques, ou du moins indiscernables. En effet, bien souvent, les propriétés intéressantes d'un objet seront partagées par tous les objets isomorphes de la catégorie. Ainsi, on parle souvent d'unicité ou d'identité « à un isomorphisme près ».

Note[modifier | modifier le code]

  1. Si, pour beaucoup de structures en algèbre, cette seconde condition est automatiquement remplie, ce n'est pas le cas en topologie par exemple où une bijection peut être continue sans que sa réciproque le soit.

Articles connexes[modifier | modifier le code]