Foncteur plein et fidèle

En théorie des catégories, un foncteur plein (respectivement fidèle) est un foncteur dont la restriction à chacun des ensembles de morphismes est surjectif (respectivement injectif).

Définition[modifier | modifier le code]

Soient C et D deux catégories et F : C → D un foncteur de C dans D. Pour X et Y des objets de C, le foncteur F induit une fonction

F_{X,Y}\colon \mathrm {Hom} _{\mathcal {C}}(X,Y)\rightarrow \mathrm {Hom} _{\mathcal {D}}(F(X),F(Y))

Le foncteur F est dit :

fidèle si pour tout X, Y dans C, F_{X, Y} est injective^[1]^,^[2] ;
plein si pour tout X, Y dans C, F_{X, Y} est surjective^[1]^,^[2] ;
pleinement fidèle si pour tout X, Y dans C, F_{X, Y} est bijective.

Propriétés[modifier | modifier le code]

Un foncteur fidèle n'a pas nécessairement besoin d'être injectif sur les objets ou les morphismes des catégories mises en jeu. Deux objets X et X' peuvent s'envoyer sur le même objet dans D (c'est la raison pour laquelle l'image d'un foncteur pleinement fidèle n'est pas forcément isomorphe à son domaine), et deux morphismes f : X → Y et f' : X' → Y' peuvent s'envoyer sur le même morphisme dans D. De la même manière, un foncteur plein n'est pas forcément surjectif sur les objets ou sur les morphismes. Il peut y avoir des objets de D qui ne sont pas de la forme FX avec X dans C, et des morphismes entre ces objets ne peuvent alors pas être image d'un morphisme de C.

Un foncteur pleinement fidèle est cependant injectif à isomorphisme près sur les objets. C'est-à-dire que si F : C → D est pleinement fidèle et $F(X)\cong F(Y)$ alors $X\cong Y$ .

Exemples[modifier | modifier le code]

Le foncteur d'oubli U : Grp → Set est fidèle car tout morphisme entre deux groupes est une application entre leurs ensembles sous-jacents. Il n'est pas plein car certaines applications entre deux groupes ne sont pas des morphismes de groupes^[3].

Une catégorie avec un foncteur fidèle vers Set est (par définition) une catégorie concrète et en général, ce foncteur d'oubli n'est pas plein.

Le foncteur d'inclusion Ab → Grp, de la catégorie des groupes abéliens vers celle des groupes, est pleinement fidèle, car tout morphisme de groupes abéliens est un morphisme de groupes et tout morphisme de groupes entre deux groupes abéliens est un morphisme de groupes abéliens.

Notes et références[modifier | modifier le code]

(en) Cet article est partiellement ou en totalité issu de l’article de Wikipédia en anglais intitulé « Full and faithful functors » (voir la liste des auteurs).

↑ ^{a et b} (en) Saunders Mac Lane, Categories for the Working Mathematician [détail de l’édition], p. 14-15.
↑ ^{a et b} (en) Nathan Jacobson, Basic Algebra, vol. 2, Dover, 2009, 2^e éd., 686 p. (ISBN 978-0-486-47187-7, lire en ligne), p. 22.
↑ Georges Poitou, Paul Jaffard, Introduction aux catégories et aux problèmes universels, Paris, Ediscience, 1971, 322 p., p. 70

Article connexe[modifier | modifier le code]

Équivalence de catégories

Portail des mathématiques

[MacLane-1] {a et b} (en) Saunders Mac Lane, Categories for the Working Mathematician [détail de l’édition], p. 14-15.

[Jacobson-2] {a et b} (en) Nathan Jacobson, Basic Algebra, vol. 2, Dover, 2009, 2^e éd., 686 p. (ISBN 978-0-486-47187-7, lire en ligne), p. 22.

[3] Georges Poitou, Paul Jaffard, Introduction aux catégories et aux problèmes universels, Paris, Ediscience, 1971, 322 p., p. 70

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v · m Théorie des catégories Abstract nonsense
Catégories	abélienne préabélienne pseudo-abélienne (en) additive préadditive (en) cartésienne complète concrète dérivée discrète duale exacte fermée fibrée (en) monoïdale monoïdale tressée *-autonome simpliciale triangulée
Catégories usuelles	Cat Rel Set Ord (en) Mon Grp Ab Ring k-Mod Top k-Vect (en) hTop (en) Met (en) Sch
Objets	Groupe (en) Groupoïde Monoïde initial/final injectif (en) exponentiel projectif Sous-objet (en)
Morphismes	Automorphisme Épimorphisme Endomorphisme Isomorphisme Monomorphisme morphisme nul Section
Foncteurs	Catégorie de foncteurs Distributeur Équivalence de catégories Isomorphisme de catégories Foncteur adjoint dérivé exact Ext Hom représentable d'oubli plein et fidèle Préfaisceau Transformation naturelle
Adjonctions	Adjonction ⊗-Hom Catégorie de Kleisli Monade
Limites	Égaliseur Extension de Kan Fin Limite inductive Limite projective Noyau Produit Produit fibré Réunion disjointe Somme Somme amalgamée
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