Catégorie concrète

Un article de Wikipédia, l'encyclopédie libre.
Aller à : navigation, rechercher

En mathématiques, et plus précisément en théorie des catégories, une catégorie concrète sur une catégorie est un couple est une catégorie et est un foncteur fidèle. Le foncteur est appelé le foncteur d'oubli et est appelée la catégorie base pour . Si n'est pas précisée, il est sous-entendu qu'il s'agit de la catégorie des ensembles . Dans ce cas, les objets de la catégorie sont des ensembles munis de certaines structures, et les morphismes de cette catégorie sont les morphismes entre ensembles munis de ces structures. C'est cette structure que fait disparaître le foncteur d'oubli. À l'inverse, de nombreuses catégories utilisées en mathématiques sont construites à partir de la catégorie des ensembles en définissant des structures sur les ensembles et en munissant les ensembles de ces structures[1]. Ces constructions constituent, avec les identifications appropriées, des catégories concrètes.

Exemples[modifier | modifier le code]

La catégorie des espaces vectoriels à gauche sur K a pour objets les K-espaces vectoriels à gauche et pour morphismes les applications K-linéaires. Cette catégorie est concrète, le foncteur d'oubli faisant correspondre à un espace vectoriel l'ensemble sous-jacent et à une application K-linéaire l'application sous-jacente.

La catégorie des espaces topologiques a pour objets les espaces topologiques et pour morphismes les applications continues. Cette catégorie est concrète, le foncteur d'oubli faisant correspondre à un espace topologique l'ensemble sous-jacent et à une application continue l'application sous-jacente.

La catégorie des espaces vectoriels topologiques sur un corps topologique K et des applications K-linéaires continues peut être considérée comme une catégorie concrète ayant différentes bases, à savoir :

  • la catégorie  ;
  • la catégorie  ;
  • la catégorie .

Foncteur concret[modifier | modifier le code]

Si et sont deux catégories concrètes sur une même base , un foncteur concret de dans est un foncteur tel que . On écrit alors .

Un isomorphisme concret est un foncteur entre catégories concrètes sur qui est un isomorphisme de catégories. On identifie en pratique les catégories concrètes concrètement isomorphes.

Par exemple, les espaces topologiques peuvent être décrits de plusieurs manières : par les ensembles ouverts, par les voisinages, par les filtres convergents, etc. Ce sont là des constructions différentes, mais les catégories concrètes correspondantes sont concrètement isomorphes, donc peuvent être identifiées, et c'est ainsi qu'on obtient la catégories concrète et la structure d'espace topologique.

Structures initiales[modifier | modifier le code]

Notations et terminologie[modifier | modifier le code]

Soit une catégorie concrète de base . Pour alléger les écritures, on notera cette catégorie concrète et le foncteur d'oubli. Pour éviter les confusions, si est un morphisme de , on appellera B son domaine et A son codomaine. L'expression «  est un -morphisme » signifie que pour le -morphisme , il existe un -morphisme (nécessairement unique, et également noté f) tel que .

Structures[modifier | modifier le code]

On parle en Algèbre des structures de groupe, d'anneau, de corps, d'espace vectoriel, etc. On parle en Analyse des structures d'espace topologique, d'espace uniforme, d'espace métrique, etc. Un groupe, par exemple, est un ensemble muni d'une structure de groupe, et le foncteur d'oubli fait justement « oublier » cette structure. La notion de structure dans le cadre des catégories concrètes peut être précisée comme suit[2] :

Lemme — La relation « A et B sont des objets de la catégorie concrète tels que et A et B sont isomorphes » est une relation d'équivalence .

Définition — On appelle structure d'un objet A de la classe A pour la relation d'équivalence . On dit que « A a la structure  » si est la classe d'équivalence de A pour la relation .

Comparaison des structures[modifier | modifier le code]

Soit A et B des objets de . On dira que A a une structure plus fine que B (et que B a une structure moins fine que A) si et s'il existe un -morphisme (nécessairement unique) tel que .

Théorème — Si A a une structure moins fine que B et B a une structure moins fine que A, alors A et B ont même structure.

Sources[modifier | modifier le code]

Une source dans est une famille de morphismes de . L'objet A et la famille d'objets sont appelés respectivement le domaine et le codomaine de . Le codomaine est parfois sous-entendu et on écrit alors .

La source est une mono-source si elle est simplifiable à gauche, c'est-à-dire si pour tout couple de morphismes , la relation (ce qui signifie équivaut à . Lorsque I est un singleton (mathématiques), on retrouve la notion usuelle de monomorphisme.

Sources initiales et structures initiales[modifier | modifier le code]

La source est dite initiale si la condition suivante est satisfaite : pour tout objet B de , la relation

«  est un -morphisme »

équivaut à la relation

« quel que soit , est un -morphisme ».

Définition — Si la source est initiale, la structure de A est dite initiale pour la famille .

Théorème — Si A a une structure initiale pour la famille , A a la moins fine des structures pour lesquelles les sont tous des -morphismes ; cette dernière propriété détermine la structure de A de manière unique.

Exemples[modifier | modifier le code]

La réciproque est du théorème ci-dessus est fausse en général (cf. Bourbaki 1970, exerc. 6, p. IV.30). Néanmoins, dans elle est exacte : une source dans est initiale si, et seulement si la topologie de A est la moins fine rendant les continues. En particulier, si E est un espace topologique, F est un sous-ensemble de E et est l'injection canonique, est une source dans si, et seulement si est continue, donc si la topologie de F est plus fine que celle de E. Cette source est initiale si, et seulement si cette topologie est la moins fine de celles qui rendent continue, autrement dit la topologie induite sur F par celle de E.

Dans la catégorie , une source est initiale si, et seulement si elle est une mono-source. En particulier, en considérant le cas où I est un singleton, un morphisme de (c'est-à-dire une application K-linéaire) est initial si, et seulement s'il est injectif.

Produits concrets[modifier | modifier le code]

Une source dans une catégorie est appelée un produit si pour toute source (ayant le même codomaine que ), il existe un morphisme unique tel que . Un produit ayant pour codomaine est appelé un produit de la famille .

Si est une catégorie concrète de base , un produit est dit concret si est un produit dans . Il est immédiat qu'une source dans est un produit concret si et seulement si cette source est initiale et est un produit dans .

Les catégories et , la catégorie des groupes, celle des groupes abéliens, celle des anneaux, celle des monoïdes, celle des modules à gauche sur un anneau, etc., admettent des produits. Soit une famille d'objets, et formons le produit dans la catégorie des ensembles. On obtient le produit concret dans ces catégories concrètes en munissant l'ensemble de la structure initiale relativement à la famille  : cela détermine l'objet de la catégorie considérée.

La construction précédente ne s'applique pas, par exemple, à la catégorie des espaces de Banach. Bien qu'elle soit concrète de base , cette catégorie admet des produits qui ne peuvent obtenus de cette manière quand ils sont infinis. Ces produits ne sont donc pas concrets.

Puits[modifier | modifier le code]

La notion de puits est duale de celle de source (la définition d'un puits s'obtient donc à partir de celle d'une source en « inversant le sens des flèches »). On obtient les correspondances suivantes :

Le coproduit d'une famille dans la catégorie des ensembles est la réunion disjointe .

Dans la catégorie concrète , le coproduit de la famille d'espaces topologiques est la réunion disjointe muni de la topologie finale, c'est-à-dire la topologie la plus fine pour laquelle les injections canoniques sont toutes continues. Par conséquent, admet des coproduits concrets.

La catégorie des groupes admet des coproduits, à savoir les produits libres, mais, bien que cette catégorie soit concrète de base , ce ne sont pas des coproduits concrets.

Notes et références[modifier | modifier le code]

Notes[modifier | modifier le code]

  1. C'est d'une manière complètement analogue que Bourbaki 1970, p. IV.4 construit une structure, mais dans un cadre qui n'est pas celui des catégories.
  2. Les définitions, lemmes, théorèmes encadrés qui suivent, et leurs démonstrations, sont extraits de Bourlès 2015

Références[modifier | modifier le code]

  • (en) Jirí Adámek, Horst Herrlich et George E. Strecker, Abstract and Concrete Categories, (lire en ligne)
  • N. Bourbaki, Éléments de mathématique - Livre I : Théorie des ensembles, Hermann,
  • (en) Henri Bourlès, « Structures in Concrete Categories », ArXiv, no 1509.08737,‎ (lire en ligne)
  • (en) Louis D. Nel, « Initially Structured Categories and Cartesian Products », Canadian Journal of Mathematics, vol. 27, no 6,‎ , p. 1361-1377 (lire en ligne)