Groupe topologique

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En mathématiques, un groupe topologique est un groupe muni d'une topologie compatible avec la structure de groupe, c'est-à-dire telle que la loi de composition interne du groupe et le passage à l'inverse sont deux applications continues.

L'étude des groupes topologiques mêle donc des raisonnements d'algèbre et de topologie. La structure de groupe topologique est une notion essentielle en topologie algébrique.

Définition et propriété caractéristique[modifier | modifier le code]

Définition —  Un groupe (G,\star) muni d'une topologie est dit topologique lorsque les applications :

  • (x,y) \in G^2 \longmapsto x \star y ;
  • et x\in G \longmapsto x^{-1}

sont continues.

Les deux axiomes de la définition peuvent être remplacés par un seul :

Théorème —  Un groupe (G,\star) est un groupe topologique si et seulement si l'application

(x,y) \in G^2 \longmapsto x \star y^{-1} ;

est continue.

Un morphisme de groupes topologiques est un morphisme de groupes continu.

Mesure de Haar[modifier | modifier le code]

Sur tout groupe topologique localement compact, il existe une et une seule mesure de Borel quasi-régulière non nulle (à coefficient multiplicateur près) invariante par les translations à gauche \left( \, x \longmapsto y\star x \right) : la mesure de Haar.

Exemples de base[modifier | modifier le code]

Théorème — Tout sous-groupe de (ℝ, +) est soit dense, soit de la forme a, pour un unique a ≥ 0.

Le cercle S1, qui peut être considéré comme le groupe multiplicatif des nombres complexes de module 1 ou comme le groupe des rotations de centre fixé dans un plan euclidien. Tout sous-groupe de S1 est soit fini soit dense.

Un exemple plus sophistiqué est (\Z/2\Z)^\N. Ce groupe est homéomorphe à l'ensemble de Cantor. Pour le voir, on a besoin de la notion de produit infini d'espaces topologiques.

Quelques propriétés générales[modifier | modifier le code]

  • Dans un groupe topologique, les translations
     x\longmapsto a\star x\quad \mathrm{et} \quad x\longmapsto x\star a
    sont des homéomorphismes.
  • La topologie est déterminée par la donnée des voisinages de l'élément neutre e.
  • Un groupe topologique G est séparé si et seulement si le singleton {e} est fermé dans G. Également, G est séparé si et seulement si l'intersection des voisinages de e est réduite à {e}.

Groupes linéaires[modifier | modifier le code]

Dorénavant, nous omettrons le signe \star.

Une classe importante de groupes topoloqiques est formée par les sous-groupes du groupe linéaire GL(n, K), avec K = ℝ ou ℂ. On les munit de la topologie induite par celle de End(Kn).

Ces exemples sont des exemples fondamentaux de groupes de Lie réels ou complexes. Ils ont en commun la propriété suivante : il existe un ouvert contenant l'élément neutre et ne contenant aucun sous-groupe non trivial.

Topologie p-adique[modifier | modifier le code]

Si (G,+) est un groupe abélien et si (G_n) est une suite de sous-groupes de G telle que :

G = G_0\supset G_1 \supset G_2\supset\ldots\supset G_n \supset\ldots

alors la suite (G_n) induit une topologie sur G dans laquelle les voisinages de x sont les parties de G contenant un des ensembles x+G_n.

Si de plus l'intersection des G_n est réduite à \{0\} où 0 est l'élément neutre de G, le groupe est séparé.

Un cas particulier de groupe topologique de cette forme est le groupe muni de la topologie p-adique : si p est un entier naturel, la suite (G_n) est définie (en notation additive) par G_n=p^nG.

Distance induite[modifier | modifier le code]

On peut définir une distance sur (G,+) muni de la topologie induite par (G_n) si l'intersection des G_n est bien réduite à \{0\} :

d(x,y)=\frac1{2^k}

k est le premier entier tel que x-y \notin G_k et

d(x,y)=0~ si pour tout entier k, x - y appartient à G_k.

Complété[modifier | modifier le code]

Si (G,+) est un groupe abélien séparé muni de la topologie déterminée par la suite (G_n), on peut définir dans G des suites de Cauchy. Une suite (x_n) est de Cauchy si et seulement si, pour tout voisinage V de 0, il existe un entier n tel que

\forall m \geq n,\ x_m-x_n \in V.

Sur cet ensemble de suites de Cauchy noté S_C(G) on peut définir une relation d'équivalence :

(x_n) R (y_n) \Longleftrightarrow \lim (x_n-y_n)=0.

Le groupe quotient S_C(G) est alors un espace complet. Le groupe G est alors isomorphe à un sous-groupe dense de S_C(G).

L'exemple le plus important d'une telle construction est celui des nombres p-adiques : on fait cette construction à partir de \Z et de la multiplication par un nombre premier p.

Cette construction du complété se généralise, dans le cadre uniforme, à tout groupe topologique abélien séparé[5].

Notes et références[modifier | modifier le code]

  1. N. Bourbaki, Éléments de mathématique, livre III : Topologie générale [détail des éditions], p. 19-21.
  2. (en) Garrett Birkhoff, « A Note on Topological Groups », Compositio Mathematica, vol. 3,‎ 1936, p. 427-430 (lire en ligne).
  3. (de) Shizuo Kakutani, « Über die Metrisation der topologischen Gruppen », Proc. Imp. Acad., vol. 12, no 4,‎ 1936, p. 82-84 (lire en ligne).
  4. (en) Terence Tao, « The Birkhoff-Kakutani theorem », 2011.
  5. Bourbaki, p. 26.

Voir aussi[modifier | modifier le code]

Articles connexes[modifier | modifier le code]

Bibliographie[modifier | modifier le code]