Produit tensoriel

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En mathématiques, le produit tensoriel est un moyen commode de coder les objets multilinéaires. Il est utilisé en algèbre, en géométrie différentielle, en géométrie riemannienne, et en physique (mécanique des solides, relativité générale et mécanique quantique).

Produit tensoriel d'espaces vectoriels[modifier | modifier le code]

Définition[modifier | modifier le code]

Théorème et définition. Soient E et F deux espaces vectoriels sur un corps commutatif K. Il existe un espace vectoriel, noté , et une application bilinéaire

(on pose )

ayant la propriété suivante (dite universelle) : pour tout espace vectoriel G, et pour toute application bilinéaire g de E×F dans G, il existe une et une seule application linéaire de dans G telle que

ou encore

De plus, cet espace est unique (à isomorphisme près).

L'espace est le produit tensoriel de E et F, et est le produit tensoriel de x et y.

Si et sont respectivement des bases de E et F, alors est une base de . En particulier, si E et F sont de dimension finie,

Techniquement, le théorème d'existence et d'unicité est un garde-fou qui permet de se contenter du point de vue des bases.

Produit tensoriel multiple[modifier | modifier le code]

On peut réitérer l'opération. Le produit tensoriel est associatif : il existe un isomorphisme naturel (c'est-à-dire ne dépendant pas du choix de bases) entre et . Cet isomorphisme envoie sur . De même, les espaces et sont isomorphes. Mais attention : si E = F, l'application bilinéaire

n'est pas symétrique. Sauf si x et y sont colinéaires,

Une situation très fréquente, notamment en géométrie différentielle, est celle où l'on considère des produits tensoriels d'un certain nombre d'exemplaires de E et de son dual. On dit qu'un élément de est un tenseur p-contravariant et q-covariant, ou plus brièvement un tenseur de type (p,q). L'espace est aussi noté [1]

Attention. Les géomètres appelent "covariant" ce que les algébristes appellent "contravariant" et vice-versa. Heureusement, tout le monde est d'accord sur l'appellation type (p,q).

Produit tensoriel d'applications linéaires[modifier | modifier le code]

Soient des espaces vectoriels, et des applications linéaires. En appliquant la propriété universelle à l'application bilinéaire

de dans ,

on voit qu'il existe une unique application linéaire

telle que

.

C'est par définition le produit tensoriel de f et g.

Exemples[modifier | modifier le code]

Les exemples ci-dessous emploient la convention de sommation d'Einstein.

Avec cette convention, on n'écrit pas les sommations qui deviennent très vite lourdes à manipuler. On somme les indices répétés deux fois de la quantité appropriée.

Deux exemples fondamentaux[modifier | modifier le code]

Produit de deux tenseurs covariants d'ordre 1[modifier | modifier le code]

Soient E et F deux espaces vectoriels de dimension finie sur un corps commutatif K. Le produit tensoriel des formes linéaires

est la forme bilinéaire sur E×F donnée par

(Rappelons que l'espace vectoriel s'identifie à ). En coordonnées, si et , alors

Produit d'un tenseur covariant et d'un tenseur contravariant, tous deux d'ordre 1[modifier | modifier le code]

Soit maintenant une forme linéaire sur E et v un vecteur de F. Leur produit tensoriel s'identifie à l'application linéaire de E dans F donnée par

En coordonnées, si et , la matrice de cette application linéaire est

Cela montre au passage que s'identifie à , les éléments décomposés de correspondant aux applications linéaires de rang 1 de .

Extension du corps de base[modifier | modifier le code]

Soit K un corps commutatif et un sous-corps de K. À partir de tout espace vectoriel E sur k, on peut construire un espace vectoriel sur K en posant

où le k en indice indique qu'il s'agit d'un produit tensoriel d'espaces vectoriels sur k. Un exemple important est celui où et . On dit alors que est le complexifié de E.

Produit tensoriel de deux tenseurs covariants d'ordres respectifs p et q[modifier | modifier le code]

Soient et . Alors est la forme -linéaire sur définie par

En coordonnées,

Produit tensoriel de deux tenseurs contravariants d'ordre 1[modifier | modifier le code]

Il s'agit donc ici de vecteurs. Soient E et F deux espaces vectoriels de dimension finie, et de dimensions respectives p et q, muni de bases respectives et . Si (avec la convention d'Einstein) et , alors

Autrement dit, est un espace vectoriel de dimension pq dont une base est engendrée par les produits tensoriels deux à deux des vecteurs de base de E et F. En fait, l'espace et le produit ne dépendent pas du choix de ces bases. On peut le vérifier directement ou invoquer la définition intrinséque du produit tensoriel.

Produit tensoriel contracté[modifier | modifier le code]

Contraction[modifier | modifier le code]

On peut envoyer dans de la façon suivante :

à on associe (rappelons que les sont des vecteurs et les des formes linéaires). Cette application, définie au départ sur les éléments décomposés de (c'est-à-dire s'écrivant comme produits tensoriels d'éléments de et de son dual), se prolonge à l'espace tout entier.

En coordonnées (à conditions de prendre sur la base duale de la base choisie pour ), cette application s'écrit

On a utilisé bien sûr la convention d'Einstein. Ici on a contracté le premier indice contravariant et le premier indice covariant. On peut faire cette opération avec d'autres indices : il y a pq contractions de dans


Un produit tensoriel contracté est un produit tensoriel suivi d'une ou plusieurs contractions. Il peut se voir comme une généralisation du produit de matrices.


Application aux changements d'indice[modifier | modifier le code]

Soit une forme blinéaire non dégénérée. C'est un tenseur de type (0,2). La forme duale est un tenseur de type (2, 0). Le produit contracté de g (resp. ) par un tenseur de type (p, q) est un tenseur de type (p – 1, q + 1) (resp. de type (p + 1, q – 1).

En fait, grâce à l'hypothèse de non-dégénérescence, le produit contracté par g est un isomorphisme de sur dont l'isomorphisme inverse est le produit contracté par . Certains auteurs[2] appellent ces isomorphismes isomorphismes musicaux et les notent avec des bémols ou des dièses suivant qu'ils font descendre ou monter les indices. Ils sont très utilisés en géométrie riemannienne ou pseudo-riemannienne.

Exemples[modifier | modifier le code]

  • Pour p = q = 1, l'application de dans K n'est autre que la trace, si on utilise l'identification naturelle entre et .
  • Le tenseur de courbure d'une variété riemannienne (M, g) est un tenseur de type (1,3).
    Il aurait donc a priori trois contractions possibles. Mais en raison de ses propriétés de symétrie, la contraction avec le troisième indice covariant donne 0, tandis que le premier et le deuxième donnent des résultats opposés. La courbure de Ricci est l'une de ces contractions (les conventions peuvent varier). En coordonnées
    De façon intrinsèque, est la trace de l'opérateur linéaire .
  • Sur une variété riemannienne ou pseudo-riemannienne, la divergence d'un tenseur s'obtient en contractant l'indice de dérivation et un autre indice (le plus souvent on travaille avec des tenseurs symétriques ou anti-symétriques, il n'y a alors au signe près qu'une divergence possible). Explicitement, la divergence d'un tenseur T de type (0, p + 1) est le tenseur de type (0, p) donné par
  • En physique du solide, la loi de Hooke s'exprime par un produit tensoriel contracté : on a
    Ici C le tenseur d'élasticité (symétrique d'ordre 4), e le tenseur des contraintes et S le tenseur des déformations (tous deux symétriques d'ordre 2)[3] (en physique classique, on travaille dans des repères orthonormés, ce qui permet de ne pas respecter les conventions d'indices, puisque l'on peut identifier tous les types de tenseurs de même ordre).

Généralisations[modifier | modifier le code]

Le produit tensoriel peut se définir

Bibliographie[modifier | modifier le code]

Notes et références[modifier | modifier le code]

  1. (en) Marcel Berger, A Panoramic View of Riemannian Geometry [détail de l’édition], p. 796.
  2. (en) Sylvestre Gallot, Dominique Hulin et Jacques Lafontaine, Riemannian Geometry [détail de l’édition].
  3. Richard P. Feynman, Robert B. Leighton (en) et Matthew Sands (en), Le Cours de physique de Feynman [détail de l’édition], Électromagnétisme, 39-2.
  4. (en) Morris W. Hirsch, Differential Topology [détail des éditions].
  5. A. Grothendieck, « Produits tensoriels topologiques et espaces nucléaires », Séminaire Bourbaki,‎ 1951-1954 (lire en ligne), exp. no 69.

Voir aussi[modifier | modifier le code]

Articles connexes[modifier | modifier le code]

Lien externe[modifier | modifier le code]

(en) Tim Gowers, « How to lose your fear of tensor products »