Dérivée partielle

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En mathématiques, la dérivée partielle d'une fonction de plusieurs variables est sa dérivée par rapport à l'une de ses variables, les autres étant gardées constantes. C'est une notion de base de l'analyse en dimension , de la géométrie différentielle et de l'analyse vectorielle.

La dérivée partielle de la fonction f par rapport à la variable x est souvent notée .

Si f est une fonction de x1, …, xn et dx1, …, dxn sont les accroissements infinitésimaux de x1, …, xn respectivement, alors l'accroissement infinitésimal correspondant de f est :

Cette expression est la « différentielle totale » de f, chaque terme dans la somme étant une « dérivée partielle » de f.

Dans le cas où la fonction ne dépend que d'une seule variable, la dérivée et la dérivée partielle sont identiques : .

Exemple[modifier | modifier le code]

Considérons le volume d'un cône V ; il dépend de la hauteur h et du rayon de la base r suivant la formule

La dérivée partielle de V par rapport à r est

Elle décrit la façon dont le volume d'un cône varie si son rayon est changé en maintenant sa hauteur constante.

La dérivée partielle par rapport à h est

et représente la façon dont varie le volume si c'est la hauteur du cône qui est changée tout en maintenant le rayon constant.

On peut alors exprimer la façon dont varie le volume si à la fois le rayon et la hauteur du cône sont changés.

Les équations différentielles faisant intervenir des dérivées partielles, appelées équations aux dérivées partielles, se rencontrent dans de multiples contextes en sciences.

Définition formelle et propriétés[modifier | modifier le code]

Les dérivées partielles sont définies à partir de limites. Leur définition est analogue à celle des dérivées « ordinaires », qu'elles généralisent.

Définition —  Soient un point de , un voisinage de dans , et une fonction de n variables.

La dérivée partielle (d'ordre 1, ou première) de au point par rapport à la j-ème variable xj est, si elle existe, la dérivée directionnelle de au point dans la direction du j-ème vecteur de la base canonique[1], ou encore, la dérivée au point de la fonction réelle d'une variable réelle  :

.

Même si toutes les dérivées partielles existent en un point donné, la fonction peut ne pas être continue en ce point[2]. On dispose toutefois d'une condition suffisante de différentiabilité — et, a fortiori, de continuité — d'une fonction en un point :

Théorème[réf. souhaitée] — Si toutes les dérivées partielles (d'ordre 1) de sont définies dans un voisinage de et continues au point , alors est différentiable en ce point[3].

Par conséquent, si les dérivées partielles sont définies et continues sur un ouvert U alors la différentielle l'est aussi. Dans ce cas, on dit que f est de classe C1 sur U.

Le vecteur dont les composantes sont les dérivées partielles premières de f en un point donné a est appelé gradient de f au point a :

 ; on le note aussi (lire « nabla »).

Si f est de classe C1, alors le gradient de f au point a, quand il est non nul, a une interprétation géométrique : il indique la direction selon laquelle f varie le plus vite, la ligne de plus grande pente.

Dérivées partielles d'ordre supérieur[modifier | modifier le code]

Article détaillé : Théorème de Schwarz.

Lorsque la dérivée partielle est définie au voisinage d'un point, il se peut qu'elle admette elle-même des dérivées partielles d'ordre 1 en ce point : elles sont appelées dérivées partielles d'ordre 2, ou secondes, de f ; la dérivée partielle d'ordre 1 de au point par rapport à la j-ème variable est notée . On définit de manière analogue des dérivées partielles d'ordre supérieur.

Si f est deux fois dérivable en un point alors toutes les dérivées partielles secondes de f en ce point existent et l'ordre de dérivation peut être changé sans que cela modifie le résultat, d'après le théorème de Schwarz :

.

Si toutes les dérivées partielles secondes de f sont définies et continues sur un ouvert U, alors (voir supra) la différentielle seconde de f l'est aussi. Dans ce cas, on dit que f est de classe C2 sur U.

Notation[modifier | modifier le code]

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Le caractère ∂, symbole de la dérivation partielle, est appelé d rond, ou parfois d ronde (à ne pas confondre avec , le delta minuscule de l'alphabet grec).

Soit f une fonction de x, y et z.

La dérivée partielle par rapport à la première variable est notée :

[1], , [réf. souhaitée] ou

et celles du second ordre :

[4], , [réf. souhaitée], ou .

Celles du second ordre impliquant deux variables — appelées dérivées mixtes du second ordre[4] — s'écrivent :

[4], , ou [réf. nécessaire]

et

[4], , ou [réf. nécessaire].

On note les dérivées d'ordre supérieur ainsi :

, ou [réf. souhaitée].

Quand on a affaire à des fonctions de plusieurs variables, certaines peuvent être reliées les unes aux autres et il peut être nécessaire de spécifier celles qui sont maintenues constantes.

Dans des domaines comme la thermodynamique ou la mécanique statistique, la dérivée partielle de par rapport à x, les variables y et z étant maintenues constantes, est souvent notée :

[réf. souhaitée].

Notes et références[modifier | modifier le code]

  1. a et b Srishti D. Chatterji, Cours d'analyse, vol. 1 : Analyse vectorielle, PPUR, (lire en ligne), p. 79.
  2. Les contre-exemples abondent. Voir celui de S. Sarfati et M. Fegyvères, Mathématiques : méthodes, savoir-faire et astuces, Bréal, (lire en ligne), p. 375-376 (repris par exemple dans F. Cottet-Emard, Analyse, vol. 2, De Boeck Supérieur, (lire en ligne), p. 31 et dans X. Oudot et M. Allano-Chevalier, Maths PCSI-PTSI 1re année, Hachette Éducation, (lire en ligne), p. 493-494) et celui de H. Muller, A. Boisseau et Weidenfeld, Mathématiques PTSI, Bréal, (lire en ligne), p. 447 ou celui, plus simple, de « Différentielles des fonctions de Rp dans Rq » sur la Wikiversité.
  3. Démonstration dans « Condition suffisante de différentiabilité d'une fonction définie sur un produit » sur la Wikiversité.
  4. a, b, c et d Chatterji 1997, p. 121.

Articles connexes[modifier | modifier le code]