Produit (catégorie)

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Dans une catégorie, le produit d'une famille d'objets est sa limite, lorsqu'elle existe. Il est donc caractérisé par une propriété universelle ou de manière équivalente comme foncteur représentable.

Définition[modifier | modifier le code]

produit

Soit une catégorie et une famille d'objets de . On cherche un couple , où X soit un objet de et une famille de morphismes , tel que pour tout objet Y de et pour toute famille de morphismes , il existe un unique morphisme tel que pour tout indice i, on ait .

Si un tel couple existe, on dit que c'est un produit des [1]. On dit aussi, moins rigoureusement, que X est un produit des . Les morphismes sont appelés les projections canoniques et les morphismes les composantes de .

Étant donné une catégorie et une famille d'objets de , les couples , où Y est un objet de et une famille de morphismes , sont les objets d'une catégorie , les morphismes (selon ) de l'objet vers l'objet étant les morphismes (selon ) f de Y dans Y' tels que, pour tout i, (le morphisme identité de dans la catégorie étant le morphisme identité de Y dans la catégorie ). La définition du produit revient alors à dire qu'un produit de la famille d'objets de est un objet final de la catégorie [1]. Comme deux objets finaux d'une catégorie sont isomorphes dans cette catégorie, deux produits et d'une même famille d'objets de sont toujours isomorphes dans , donc, a fortiori, les «produits» X et X' sont isomorphes dans . Réciproquement, si X et X' sont deux objets isomorphes de , si X est un «produit» d'une famille d'objets de , alors X' est lui aussi un «produit» de cette famille. Tout ceci montre que le produit est défini à isomorphisme près.

Dans toute catégorie, le produit des , lorsqu'il existe, représente le foncteur qui à un objet Y de C associe le produit cartésien .

Produit et somme[modifier | modifier le code]

La somme est la propriété duale du produit : la somme correspond au produit de la catégorie duale.

Exemples[modifier | modifier le code]

  • Dans la catégorie des ensembles, le produit d'une famille d'ensembles est leur produit cartésien, muni des projections respectives.
  • Le produit indexé par l'ensemble vide est l'objet final.
  • Dans la catégorie des magmas, des monoïdes ou des groupes, le produit est le produit direct. Il se construit sur le produit cartésien des ensembles sous-jacents. Le produit commute donc avec le foncteur d'oubli.
  • Lorsque A est un anneau commutatif, dans la catégorie des A-modules, le produit est le produit direct. La catégorie des K-espaces vectoriels ainsi que la catégorie des groupes commutatifs en sont des cas particuliers.
  • Le produit d'une famille de corps (resp. corps commutatifs) n'existe pas forcément dans la catégorie des corps (resp. corps commutatifs). Par exemple, si K désigne un corps (commutatif) à 2 éléments et L un corps (commutatif) à 3 éléments, le produit de K et de L n'existe pas dans la catégorie des corps ni dans celle des corps commutatifs. En effet, les projections d'un tel produit M seraient respectivement des homomorphismes de M dans K et dans L. Or tout homomorphisme de corps est injectif, donc M serait isomorphe à la fois à un sous-corps d'un corps à 2 éléments et à un sous-corps d'un corps à 3 éléments, ce qui est impossible.
  • Dans la catégorie des espaces topologiques, le produit s'obtient en construisant la topologie produit (topologie de la convergence simple) sur le produit cartésien.
  • Le produit fibré est une version plus sophistiquée du produit.

Note et référence[modifier | modifier le code]

  1. a et b Serge Lang, Algèbre [détail des éditions], Dunod, 2004, p. 62

Article connexe[modifier | modifier le code]

Limite projective