Catégorie de Kleisli

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Une catégorie de Kleisli est une catégorie associée à une monade. Elle tient son nom du mathématicien suisse Heinrich Kleisli (en) qui l'a introduite à l'origine pour montrer que toute monade est issue d'une adjonction.

Définition[modifier | modifier le code]

On considère une monade sur une catégorie C. La catégorie de Kleisli possède les mêmes objets que C mais les morphismes sont donnés par

L'identité est donnée par , et la composition fonctionne ainsi : si et , on a

qui correspond au diagramme :

Les morphismes de C de la forme sont parfois appelés morphismes de Kleisli.

T-algèbres[modifier | modifier le code]

Avec les notations précédentes, une T-algèbre (ou T-module) est la donnée d'un objet x de C et d'un morphisme tels que

Un morphisme de T-algèbres est une flèche telle que

.

Les T-algèbres et leurs morphismes forment la catégorie d'Eilenberg-Moore .

Le foncteur d'oubli possède un adjoint à gauche qui envoie tout objet y de C sur la T-algèbre libre . Les T-algèbres libres forment une sous-catégorie pleine de qui est équivalente à la catégorie de Kleisli.

Monades et adjonctions[modifier | modifier le code]

On définit le foncteur par :

et un foncteur par :

Ce sont bien des foncteurs, et on a l'adjonction , la counité de l'adjonction étant .

Enfin, et  : on a donné une décomposition de la monade en termes de l'adjonction .

Monades et informatique théorique[modifier | modifier le code]

Article détaillé : Monade (informatique).

On peut réinterpréter la catégorie de Kleisli d'un point de vue informatique  :

  • Le foncteur T envoie tout type X sur un nouveau type  ;
  • On dispose d'une règle pour composer deux fonctions et , donnée par la composition dans la catégorie de Kleisli, qui est associative et unitale. On obtient une fonction  ;
  • Le rôle de l'unité est joué par l'application pure .

Référence[modifier | modifier le code]

(en) Saunders Mac Lane, Categories for the Working Mathematician [détail de l’édition]