Lemme des cinq — Wikipédia

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En algèbre homologique, le lemme des cinq permet d'établir l'injectivité et la surjectivité des flèches dans les diagrammes commutatifs.

Précisément : en supposant

1) que le diagramme ci-dessous est commutatif

2) que les deux lignes du diagramme sont exactes

3) que $m$ et $p$ sont des isomorphismes

4) que $l$ est un épimorphisme et $q$ un monomorphisme

alors $n$ est un isomorphisme.

Ceci vaut non seulement dans une catégorie abélienne (comme celle des groupes abéliens, ou celle des espaces vectoriels sur un corps fixé) mais aussi, par exemple, dans la catégorie des groupes.

Articles connexes[modifier | modifier le code]

v · m Théorie des catégories Abstract nonsense
Catégories	abélienne préabélienne pseudo-abélienne (en) additive préadditive (en) cartésienne complète concrète dérivée discrète duale exacte fermée fibrée (en) monoïdale monoïdale tressée *-autonome simpliciale triangulée
Catégories usuelles	Cat Rel Set Ord (en) Mon Grp Ab Ring k-Mod Top k-Vect (en) hTop (en) Met (en) Sch
Objets	Groupe (en) Groupoïde Monoïde initial/final injectif (en) exponentiel projectif Sous-objet (en)
Morphismes	Automorphisme Épimorphisme Endomorphisme Isomorphisme Monomorphisme morphisme nul Section
Foncteurs	Catégorie de foncteurs Distributeur Équivalence de catégories Isomorphisme de catégories Foncteur adjoint dérivé exact Ext Hom représentable d'oubli plein et fidèle Préfaisceau Transformation naturelle
Adjonctions	Adjonction ⊗-Hom Catégorie de Kleisli Monade
Limites	Égaliseur Extension de Kan Fin Limite inductive Limite projective Noyau Produit Produit fibré Réunion disjointe Somme Somme amalgamée
Opérations	Enveloppe de Karoubi Nerf Squelette Symétrisation
Outils	Diagramme Diagramme commutatif Équivalence de Morita Lemme des cinq Lemme du serpent Lemme de Yoneda Propriété universelle
Extensions et catégories supérieures	Catégorie enrichie 2-catégorie n-catégorie (en) Quasi-catégorie Site Topos