2-catégorie

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En mathématiques, et plus particulièrement en théorie des catégories, une 2-catégorie est une catégorie avec des « morphismes entre les morphismes », c'est-à-dire que chaque « ensemble des morphismes » transporte la structure d'une catégorie. Une 2-catégorie peut être formellement définie comme étant une catégorie enrichie au-dessus de Cat (en) (la catégorie des catégories et foncteurs), avec la structure monoïdale donnée par le produit de deux catégories.

Définition[modifier | modifier le code]

2-catégorie stricte[modifier | modifier le code]

Composition verticale de deux 2-morphismes dans une 2-catégorie.
Composition horizontale de deux 2-morphismes dans une 2-catégorie.
Compatibilité entre les compositions horizontales et verticales de 2-morphismes.

Une 2-catégorie (stricte) est la donnée :

  • d'une classe de 0-cellules (ou objets) ;
  • pour tous objets A, B, d'une catégorie . Les objets f, g : AB de cette catégorie sont appelés 1-cellules (ou morphismes ou encore 1-morphismes) et les morphismes α : fg sont appelés 2-cellules (ou 2-morphismes).

Les 1-morphismes peuvent être composés suivant les objets. Il s'agit de la composition usuelle des morphismes dans une catégorie.

Les 2-morphismes peuvent être composés de deux manières : suivant les objets et suivant les 1-morphismes. Ces deux compositions sont appelées respectivement composition horizontale et composition verticale.

La composition verticale est définie comme suit. Soient deux 0-cellules A et B, et trois 1-morphismes f, g, h : AB. Soient les 2-morphismes α : fg et β : gh. Alors la composition verticale de α et β est le 2-morphisme β α : fh, qui est la composition de morphismes au sens usuel dans la catégorie .

La composition horizontale est définie comme suit. Soient trois 0-cellules A, B et C, et quatre 1-morphismes f, g: AB et f' , g' : BC. Soient deux 2-morphismes α : fg et β : f'g' . On peut définir les composées de 1-morphismes f'f: AC et g'g: AC. Dans une 2-catégorie, on suppose qu'il existe un foncteur de vers , qui associe aux deux 2-morphismes α et β un 2-morphisme noté βα : f'fg'g. Cela se traduit par une relation de cohérence entre les compositions horizontale et verticale. Si on a quatre 2-morphismes α : ff' , α' : f'f", β : gg' , β' : g'g", alors on a (β' β)(α' α) = β'α' βα.

De plus, si idA est le 1-morphisme identité de l'objet A et si IdidA est le 2-morphisme identité de l'objet idA dans la catégorie , alors la composée horizontale de ce 2-morphisme par un 2-morphisme α est égal à α.

Bicatégorie[modifier | modifier le code]

Une bicatégorie est une notion faible de 2-catégorie. L'associativité et la composition avec les morphismes identité dans la définition de 2-catégorie stricte sont satisfaites seulement à isomorphisme près.

Une bicatégorie est la donnée :

  • d'une classe de 0-cellules (ou objets) ;
  • pour tous objets A, B, d'une catégorie . Les objets f, g : AB de cette catégorie sont appelés 1-cellules (ou morphismes ou encore 1-morphimes) et les morphismes α : fg dont appelés 2-cellules (ou 2-morphismes).
  • pour tout objet A, d'une 1-cellule 1A, appelée morphisme identité ;
  • pour tout objets A, B, C, d'un foncteur appelé composition horizontale ;
  • pour tout objets A, B, d'un isomorphisme naturel , appelé uniteur ;
  • pour tout objets A, B, C, D, d'un isomorphisme naturel appelé associateur ;

tels que

S'il y a exactement une 0-cellule A, alors la définition est celle d'une structure monoïdale sur la catégorie .

Exemple[modifier | modifier le code]

  • La catégorie des catégories (en) est une 2-catégorie où les objets sont les catégories, les morphismes sont les foncteurs et les 2-morphismes sont les transformations naturelles.
  • Toute 2-catégorie stricte est une bicatégorie dont les uniteurs et associateurs sont des identités.

Morphismes dans une 2-catégorie[modifier | modifier le code]

Équivalence[modifier | modifier le code]

Un morphisme f : AB dans une 2-catégorie est appelé une équivalence s'il existe un morphisme g : BA et des isomorphismes gf ≅ 1A et fg ≅ 1B.

Adjoint[modifier | modifier le code]

Une adjonction dans une 2-catégorie consiste en la donnée de deux 1-cellules f : AB et u : BA et de deux 2-cellules η : 1Auf et ε : fu → 1B satisfaisant les équations des triangles, c'est-à-dire les compositions

et

sont des identités. On dit que f est un adjoint à gauche de u.

Si les deux 2-cellules sont inversibles, on parle d'équivalence adjointe.

Pleinement fidèle, fidèle, conservatif[modifier | modifier le code]

Un morphisme f: AB dans une 2-catégorie est dit fidèle (respectivement pleinement fidèle, conservatif) si pour tout objet C dans , le foncteur induit

est fidèle (respectivement pleinement fidèle, conservatif).

Discret[modifier | modifier le code]

Un morphisme f: AB dans une 2-catégorie est dit discret s'il est fidèle et conservatif.

Morphismes entre deux 2-catégories[modifier | modifier le code]

On s'intéresse ici aux relations entre différentes 2-catégories.

2-foncteur strict[modifier | modifier le code]

Pseudo-foncteur[modifier | modifier le code]

Foncteur laxe[modifier | modifier le code]

Équivalence de 2-catégories[modifier | modifier le code]

Une équivalence de 2-catégories C et D consiste en la donnée de :

  • deux pseudo-foncteurs F : CD, G : DC ;
  • deux transformations pseudo-naturelles GF → Id, FG → Id qui sont des équivalences, c'est-à-dire admettant des transformations pseudo-naturelles formant leurs inverses à isomorphisme près.

Limites[modifier | modifier le code]

Monades[modifier | modifier le code]

Une monade dans une 2-categorie consiste en la donnée d'une 0-cellule X, d'une 1-cellule t : XX et de deux 2-cellules μ : t2 ⇒ t et η : idX ⇒ t, satisfaisant les trois mêmes axiomes qu'une monade usuelle (dans la 2-catégorie des catégories).

  • Une adjonction dans une 2-catégorie donne naissance à une monade.

Doctrines[modifier | modifier le code]

Voir aussi[modifier | modifier le code]

Références[modifier | modifier le code]

  • (en) Generalised Algebraic Models, Claudia Centazzo
  • (en) « 2-category » sur ncatlab.org
  • (en) Basic bicategories, Tom Leinster
  • (en) A 2-categories companion, Steve Lack