Monomorphisme

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Dans le cadre de l'algèbre générale ou de l'algèbre universelle, un monomorphisme est simplement un morphisme injectif.

Dans le cadre plus général de la théorie des catégories, un monomorphisme (aussi appelé « mono »)[réf. souhaitée] est un morphisme simplifiable à gauche, c'est-à-dire un morphisme f\colon X \to Y tel que pour tout Z,

\forall g_1, g_2\colon Z\to X\quad\left(f\circ g_1=f \circ g_2\quad\Rightarrow\quad g_1=g_2\right),

ou encore : l'application

f_*\colon \operatorname{Hom}(Z,X) \to\operatorname{Hom}(Z,Y),~g\mapsto f\circ g\text{ est injective.}

Les monomorphismes sont la généralisation aux catégories des fonctions injectives ; dans certaines catégories, les deux notions coïncident d'ailleurs. Mais les monomorphismes restent des objets plus généraux (voir l'exemple ci-dessous).

Le dual d'un monomorphisme est un épimorphisme (c'est-à-dire qu'un monomorphisme dans la catégorie C est un épimorphisme dans la catégorie duale Cop).

Terminologie[modifier | modifier le code]

Les termes consacrés monomorphisme et épimorphisme ont été originellement introduits par Bourbaki, qui utilisait monomorphisme comme raccourci pour désigner les fonctions injectives. Plus tard, les théoriciens des catégories ont donné de ces deux termes la définition ci-dessus, ce qui a causé quelques malentendus dans les cas où la nouvelle notion ne coïncidait pas avec l'ancienne. Saunders Mac Lane[1] a tenté de remédier à la situation en redonnant à « monomorphisme » sa signification ensembliste antérieure, et en appelant « morphisme monique » la notion catégorique, mais ses choix ne sont pas entrés dans l'usage[2].

Exemples[modifier | modifier le code]

Tout morphisme d'une catégorie concrète dont l'application sous-jacente est injective est un monomorphisme.

Dans la catégorie des ensembles, la réciproque est vraie, et donc les monomorphismes sont exactement les morphismes injectifs. La réciproque est également vraie dans la plupart des catégories usuelles de par l'existence d'objets libres sur un générateur. En particulier, c'est vrai pour la catégorie des groupes et celle de anneaux, et pour toute catégorie abélienne concrète.

En revanche, dans d'autres catégories concrètes, les monomorphismes ne sont pas nécessairement injectifs. Par exemple, dans la catégorie Div des groupes abéliens divisibles et des morphismes de groupes entre eux, il y a des monomorphismes qui ne sont pas injectifs : considérer l'application quotient f : Q → Q/Z. Elle n'est pas injective ; cependant, c'est un monomorphisme de cette catégorie[3],[4]. En effet, si f ∘ g1 = f ∘ g1 pour deux morphismes g1, g1 : GQG est un groupe abélien divisible alors f ∘ h = 0 où h = g1g2 (ce qui a un sens dans une catégorie additive). Cela signifie que le groupe (divisible) im(h) est inclus dans Z donc trivial, autrement dit : h = 0, donc g1 = g2.

Propriétés[modifier | modifier le code]

  • Le composé de deux monomorphismes est un monomorphisme.
  • Pour tout X, idX : XX est un monomorphisme.
  • Si k ∘ f est un monomorphisme alors f aussi.
  • D'après les deux propriétés précédentes, toute section (c'est-à-dire tout morphisme inversible à gauche) est un monomorphisme[5]. Les sections sont aussi appelées des split monos[réf. souhaitée].
  • Un morphisme f : XY est un monomorphisme si et seulement si le produit fibré de f par f existe et est égal à X (muni des applications idX)[6].

Concepts liés[modifier | modifier le code]

Il existe aussi les concepts de monomorphisme régulier, monomorphisme fort et monomorphisme extrémal. Un monomorphisme régulier égalise un couple de morphismes. Un monomorphisme extrémal est un monomorphisme qui ne peut être trivialement factorisé à l'aide d'un épimorphisme : plus précisément, si m = g ∘ e avec e un épimorphisme, alors e est un isomorphisme. Un monomorphisme fort vérifie une certaine propriété de relèvement par rapport aux carrés commutatifs impliquant un épimorphisme[évasif].

Notes et références[modifier | modifier le code]

(en) Cet article est partiellement ou en totalité issu de l’article de Wikipédia en anglais intitulé « Monomorphism » (voir la liste des auteurs).

  1. (en) Saunders Mac Lane, Categories for the Working Mathematician [détail de l’édition], p. 19.
  2. (en) George Bergman (en), An Invitation to General Algebra and Universal Constructions, Springer,‎ (1re éd. 1988) (ISBN 978-3-31911478-1, présentation en ligne, lire en ligne), p. 258.
  3. (en) Francis Borceux, Handbook of Categorical Algebra, vol. 1 : Basic Category Theory, CUP,‎ (ISBN 978-0-521-44178-0, lire en ligne), p. 26.
  4. Bergman 2015, p. 255.
  5. Borceux 1994, p. 24.
  6. Borceux 1994, p. 53.

Lien externe[modifier | modifier le code]

(en) Jaap van Oosten, « Basic Category Theory », sur Université d'Utrecht,‎