Catégorie monoïdale tressée

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En mathématiques, une catégorie monoïdale tressée est une catégorie monoïdale particulière, à laquelle on ajoute un analogue de la notion de commutativité.

Définition formelle[modifier | modifier le code]

Soit (\mathcal{C},\otimes,\alpha,\lambda,\rho) une catégorie monoïdale. On note \otimes^{op} le produit tensoriel opposé à \otimes, c'est-à-dire le bifoncteur défini par A \otimes^{op} B = B \otimes A. On appelle tressage sur \mathcal{C} un isomorphisme naturel \beta de -\otimes - vers - \otimes^{op}-. Autrement dit, pour tous objets A,B de \mathcal{C}, \beta induit un isomorphisme

 \beta_{A,B}: A \otimes B \longrightarrow B \otimes A

Représentation des groupes de tresses[modifier | modifier le code]

Une catégorie monoïdale tressée est dite symétrique si, de plus, \beta_{B,A}^{-1}=\beta_{A,B}.

Si V est un objet de \mathcal{C}, quitte à fixer un parenthésage (puisque le produit tensoriel n'est associatif qu'à isomorphisme près), cela a un sens de considérer l'objet V^{\otimes n}=V_1 \otimes V_2 \otimes \dots \otimes V_n. Puisque les V_i sont tous égaux à V, on a en particulier

V_1\otimes \dots V_i \otimes V_{i+1} \otimes \dots \otimes V_n = V_1\otimes \dots V_{i+1} \otimes V_{i} \otimes \dots \otimes V_n

où il s'agit cette fois ci d'une véritable égalité et non d'un isomorphisme. Par ailleurs, \beta induit un isomorphisme

\beta_i:V_1\otimes \dots V_i \otimes V_{i+1} \otimes \dots \otimes V_n \rightarrow V_1\otimes \dots V_{i+1} \otimes V_{i} \otimes \dots \otimes V_n

Ainsi, les applications \beta_i pour i=1\dots n-1 peuvent être considérées comme des éléments du groupes des automorphismes de V^{\otimes n}. On en déduit qu'il existe un morphisme de groupe

B_n \longrightarrow \mathrm{Aut}(V^{\otimes n})

qui envoie \sigma_i sur \beta_i.

Article connexe[modifier | modifier le code]

Produit tensoriel de deux modules