Catégorie *-autonome

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En mathématiques, une catégorie *-autonome (lire « étoile-autonome » ou « star-autonome ») est une structure étudiée en théorie des catégories.

Il s'agit plus précisément d'une catégorie qui possède un objet dit « dualisant » et qui vérifie un jeu d'axiomes précis. Cette structure rend compte de plusieurs situations essentielles qui apparaissent naturellement en logique mathématique, en topologie, en informatique théorique et en physique théorique et a été introduite par le mathématicien américain Michael Barr (en) en 1979.

Le terme « *-autonome » fait écho à la notion de catégorie rigide (en), aussi dite « autonome », qui est une catégorie où la notion de dual peut être définie.

Définition[modifier | modifier le code]

Catégorie *-autonome ordinaire[modifier | modifier le code]

Définition explicite[modifier | modifier le code]

Soit une catégorie monoïdale symétrique fermée, dont le foncteur Hom interne est noté . C est une catégorie *-autonome si elle est équipée d'un objet dualisant et pour tout objet A, d'un isomorphisme :

.

Cette application n'est autre que la transposée de l'application d'évaluation :

Le fait qu'il s'agisse d'un isomorphisme permet de donner un sens à la double négation, et donc de rendre compte de logiques plus flexibles que la logique intuitionniste.

Définition implicite[modifier | modifier le code]

Une définition alternative, mais équivalente, est de considérer sur cette catégorie C le foncteur

et de demander qu'existe une bijection naturelle

Le rôle de l'objet dualisant est alors joué par .

Catégorie *-autonome enrichie[modifier | modifier le code]

Soit V une catégorie monoïdale, il existe une notion de catégorie *-autonome V-enrichie. Elle coïncide avec la notion classique lorsque V = Set.

Un V-foncteur F : A → B est dit essentiellement surjectif sur les objets lorsque tout objet de B est isomorphe à Fa pour un objet a de A. Une *-opération à gauche est un V-foncteur

associé à la famille V-naturelle d'isomorphismes

.

Une V-catégorie *-autonome est une V-catégorie monoïdale équipée d'une *-opération à gauche pleine et fidèle. Ces catégories sont en particulier fermées, et l'objet dualisant est SI.

Exemples[modifier | modifier le code]

  • Les espaces de cohérence (en) en logique linéaire, introduits par Jean-Yves Girard, sont des catégories *-autonomes. En effet la structure *-autonome permet de rendre compte des opérations de cette logique : si on note , on observe que est canoniquement isomorphe à et on peut définir l'opération « par » X ⅋ Y comme .
  • La catégorie des k-espaces vectoriels de dimension finie, où k est un corps, est *-autonome. Le corps de base joue le rôle de l'objet dualisant, et le dual usuel (c'est-à-dire en tant qu'espace vectoriel dual) V* est exactement le dual au sens *-autonome. La catégorie de tous les k-espaces vectoriels (non nécessairement de dimension finie) n'est en revanche pas *-autonome.
  • Les espaces de Chu (en), qui généralisent les espaces topologiques, sont naturellement dotés d'une structure *-autonome, et sont en particulier utilisés pour modéliser les automates et les problèmes de concurrence.

Voir aussi[modifier | modifier le code]

Références[modifier | modifier le code]

  • (en) Michael Barr, *-Autonomous Categories, Springer-Verlag, coll. « Lecture Notes in Mathematics » (no 752), (DOI 10.1007/BFb0064579)
  • (en) Michael Barr, « *-autonomous categories and linear logic », Mathematical Structures in Computer Science, vol. 1,‎ , p. 159-178
  • (en) Michael Barr, « *-autonomous categories: once more around the track », Theory and Applications of Categories, vol. 6,‎ , p. 5-24
  • (en) Michael Barr, « Non-symmetric *-autonomous categories », Theoretical Computer Science, vol. 139,‎ , p. 115-130
  • (en) Jean-Yves Girard, Yves Lafont et Paul Taylor, Proofs and Types, Cambridge University Press, (lire en ligne)
  • (en) Ross Street (en), « Quantum categories, star autonomy, and quantum groupoids », Galois theory, Hopf algebras, and semiabelian categories, vol. 43,‎ , p. 187 (lire en ligne)