Lemme du serpent

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Le lemme du serpent, en mathématiques, et en particulier en homologie, est un énoncé valide dans toute catégorie abélienne ; c'est un outil des plus importants pour la construction de suites exactes, objets omniprésents en homologie et ses applications, par exemple en topologie algébrique. Les homomorphismes ainsi construits sont généralement appelés homomorphismes connectants .

Énoncé[modifier | modifier le code]

Dans une catégorie abélienne (par exemple la catégorie des groupes abéliens ou celle des espaces vectoriels sur un corps commutatif), considérons le diagramme commutatif suivant:

SnakeLemma01.png

où les lignes sont des suites exactes et 0 est le zéro de la structure concernée. Alors il existe une suite exacte liant les noyaux et les conoyaux de a, b, et c:

\ker a \; {\color{Gray}\longrightarrow} \ker b \; {\color{Gray}\longrightarrow} \ker c \; \overset{d}{\longrightarrow} \operatorname{coker}a \; {\color{Gray}\longrightarrow} \operatorname{coker}b \; {\color{Gray}\longrightarrow} \operatorname{coker}c

De plus, si le morphisme f est un monomorphisme, alors le morphisme ker a → ker b l'est aussi, et si g' est un épimorphisme, alors coker b → coker c l'est aussi.

Sources[modifier | modifier le code]