Enveloppe de Karoubi

Un article de Wikipédia, l'encyclopédie libre.
Aller à : navigation, rechercher

En mathématiques, l’enveloppe de Karoubi d'une catégorie C est une classification des idempotents de C, au moyen d'une catégorie auxiliaire. Elle porte le nom du mathématicien français Max Karoubi.

Définition[modifier | modifier le code]

Soit une catégorie C, alors un idempotent de C est un endomorphisme :

qui vérifie e2 = e. Son enveloppe de Karoubi, parfois notée Split(C), est une catégorie contenant les paires de la forme (A, e) avec e : AA un idempotent de C, et des triplets de morphismes de la forme :

avec f : AA’ un morphisme de C qui vérifie ou, de manière équivalente, .

La composition dans Split(C) se fait comme dans C, mais le morphisme identité de sur Split(C) est (e,e,e), au lieu de l'identité de A.

La catégorie C est incluse dans Split(C). De plus, dans Split(C), tout idempotent est scindé : pour tout idempotent f : (A,e) → (A,e), il existe une paire (g : (A,e) → (A’’,e’’), h : (A’’,e’’) → (A,e)) telle que :

et .

L'enveloppe de Karoubi d'une catégorie C peut ainsi être considérée comme la « complétion » de C, qui scinde les idempotents.

L'enveloppe de Karoubi d'une catégorie C peut de façon équivalente être définie comme la sous-catégorie pleine de (les préfaisceaux sur C) des rétractée des foncteurs représentables.

Automorphismes de l'enveloppe de Karoubi[modifier | modifier le code]

Un automorphisme de Split(C) est de la forme (e, f, e) : (A, e) → (A, e), d'inverse (e, g, e) : (A, e) → (A, e) qui vérifie :

 ;
 ;
 ;

Si on se contente, au lieu de la première équation, de la relation , alors f est un automorphisme partiel, d'inverse g. Une involution (partielle) de Split(C) est un automorphisme (partiel) auto-inverse.

Exemple[modifier | modifier le code]

Si C est muni du produit, alors un isomorphisme f : AB étant donné, l'application f × f -1 : A × BB × A, composée avec son application canoniquement symétrique γ : B × AA × B, est une involution partielle.

Références[modifier | modifier le code]