Module projectif

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En mathématiques, un module projectif est un module P (à gauche par exemple) sur un anneau A tel que pour tout morphisme surjectif f : N → M entre deux A-modules (à gauche) et pour tout morphisme g : P → M, il existe un morphisme h : P → N tel que g = fh, c'est-à-dire tel que le diagramme suivant commute :

Autrement dit : P est projectif si pour tout module N, tout morphisme de P vers un quotient de N se factorise par N.

Propriétés

• Les A-modules projectifs sont les objets projectifs (en) de la catégorie abélienne des A-modules : P est projectif si et seulement si le foncteur Hom(P, ) (covariant, exact à gauche) est exact (en).
• Un module est projectif si et seulement s'il est facteur direct dans un module libre.
• Par conséquent, tout module projectif est plat. Inversement, tout module plat de présentation finie est projectif.
• Sur un anneau de Dedekind A, tout module projectif de type fini est isomorphe à $A^n\oplus I$ pour un idéal I de A.
• Sur un anneau noethérien, un module de type fini est projectif si et seulement s'il est localement libre.
• D'après le théorème de Quillen-Suslin (en), sur un anneau de polynômes A[X₁,...,X_n] où A est un anneau principal (par exemple un corps), tout module projectif de type fini est même libre.
• Si A est un anneau commutatif noethérien sans idempotent non-trivial (i.e. $e^2 = e$ implique que $e = 0$ ou 1), tout module projectif non de type fini sur A est libre.

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