Fonction diviseur

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Page d'aide sur les redirections Cet article concerne la fonction diviseur. Pour la fonction sigma de Rado, voir Castor affairé.

En mathématiques, la fonction diviseur σa(n) est la fonction multiplicative qui à tout entier n > 0 associe la somme des a-ièmes puissances des diviseurs positifs de n, où a est un nombre complexe arbitraire :

\sigma_{a}(n)=\sum_{d|n} d^a.

Propriétés[modifier | modifier le code]

Fonction nombre de diviseurs[modifier | modifier le code]

La fonction[1] σ0 (« nombre de diviseurs »), également notée[2] d, est aussi appelée fonction tau[3],[4] (de l'allemand Teiler : diviseur) et notée τ. Elle compte le nombre de diviseurs positifs de n :

 d(n)=\tau(n)=\sum_{d|n} 1 = \operatorname{Card} \{ 1\leqslant d \leqslant n : d|n \}=\prod_{i=1}^r(k_i+1).

Fonction somme de diviseurs[modifier | modifier le code]

Article détaillé : Somme des diviseurs.

La fonction sigma σ1 est parfois notée σ. On a

\sigma(n)=\sum_{d|n}d=\prod_{i=1}^r\sum_{j=0}^{k_i}p_i^j=\prod_{i=1}^k\frac{p_i^{k_i+1}-1}{p_i-1}.

Par exemple, si n = pq pour deux nombres premiers distincts p et q, alors \sigma(n)=(p+1)(q+1)=n+1+(p+q)\text{ et }\varphi(n)=(p-1)(q-1)=n+1-(p+q) où φ est l'indicatrice d'Euler.

La somme des diviseurs stricts de n est s(n)=\sum_{d|n,d\ne n}d=\sigma(n)-n. L'entier n est dit parfait si s(n) = n, déficient si s(n) < n et abondant si s(n) > n.

Notes et références[modifier | modifier le code]

  1. « d(n) (also called tau(n) or sigma_0(n)), the number of divisors of n », suite A000005 de l'OEIS.
  2. G. H. Hardy et E. M. Wright, Introduction à la théorie des nombres ; William John Ellison et Michel Mendès France, Les nombres premiers [détail des éditions].
  3. Edmund Landau Handbuch der Lehre von der Verteilung der Primzahlen, Teubner, Berlin 1909.
  4. Gérald Tenenbaum, Introduction à la théorie analytique et probabiliste des nombres, Belin.

Voir aussi[modifier | modifier le code]