Fonction diviseur

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En mathématiques, la fonction diviseur σa(n) est la fonction multiplicative qui à tout entier n > 0 associe la somme des a-ièmes puissances des diviseurs positifs de n, où a est un nombre complexe arbitraire :

\sigma_{a}(n)=\sum_{d|n} d^a.

Propriétés[modifier | modifier le code]

Fonction nombre de diviseurs[modifier | modifier le code]

La fonction[1] σ0 (« nombre de diviseurs »), également notée[2] d, est aussi appelée fonction tau[3],[4] (de l'allemand Teiler : diviseur) et notée τ. Elle compte le nombre de diviseurs positifs de n :

 d(n)=\tau(n)=\sum_{d|n} 1 = \operatorname{Card} \{ 1\leqslant d \leqslant n : d|n \}=\prod_{i=1}^r(k_i+1).

Fonction somme de diviseurs[modifier | modifier le code]

Article détaillé : Somme des diviseurs.

La fonction sigma σ1 est parfois notée σ. On a

\sigma(n)=\sum_{d|n}d=\prod_{i=1}^r\sum_{j=0}^{k_i}p_i^j=\prod_{i=1}^k\frac{p_i^{k_i+1}-1}{p_i-1}.

Par exemple, si n = pq pour deux nombres premiers distincts p et q, alors \sigma(n)=(p+1)(q+1)=n+1+(p+q)\text{ et }\varphi(n)=(p-1)(q-1)=n+1-(p+q) où φ est l'indicatrice d'Euler.

La somme des diviseurs stricts de n est s(n)=\sum_{d|n,d\ne n}d=\sigma(n)-n. L'entier n est dit parfait si s(n) = n, déficient si s(n) < n et abondant si s(n) > n.

Notes et références[modifier | modifier le code]

  1. « d(n) (also called tau(n) or sigma_0(n)), the number of divisors of n », suite A000005 de l'OEIS.
  2. G. H. Hardy et E. M. Wright, Introduction à la théorie des nombres ; William John Ellison et Michel Mendès France, Les nombres premiers [détail des éditions].
  3. Edmund Landau Handbuch der Lehre von der Verteilung der Primzahlen, Teubner, Berlin 1909.
  4. Gérald Tenenbaum, Introduction à la théorie analytique et probabiliste des nombres, Belin.

Voir aussi[modifier | modifier le code]