Polyèdre uniforme

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Un polyèdre uniforme (en) est un polyèdre qui a pour faces des polygones réguliers et tel qu'il existe une isométrie qui applique un sommet quelconque sur un autre. Il en découle que tous les sommets sont congruents, et que le polyèdre possède un haut degré de symétrie axiale et rotationnelle.

Les polyèdres uniformes peuvent être réguliers, quasi-réguliers ou semi-réguliers. Les faces n'ont pas besoin d'être convexes, beaucoup de polyèdres uniformes sont aussi des polyèdres étoilés.

En excluant les ensembles infinis, il existe 75 polyèdres uniformes (ou 76 si les arêtes sont autorisées à coïncider).

Les catégories incluent :

Ils peuvent aussi être groupés par leur groupe de symétrie, ce qui est fait ci-dessous.

Histoire[modifier | modifier le code]

  • Les solides de Platon sont connus depuis l'Antiquité par les Grecs classiques et ont été étudiés par Platon, Théétète et Euclide.
  • Johannes Kepler (1571-1630) fut le premier à publier la liste complète des solides d'Archimède après la perte du travail original d'Archimède.
  • Kepler (1619) a découvert deux des solides de Kepler-Poinsot réguliers et Louis Poinsot (1809) a découvert les deux autres.
  • Des 66 qui restaient, 37 furent découverts par Albert Badoureau (1881). Edmund Hess (en) (1878) en découvrit 2 de plus et Pitsch (1881) en découvrit 18 indépendamment, dont 15 nouveaux.
  • Le célèbre géomètre Coxeter découvrit les 12 restants en collaboration avec J. C. P. Miller (en) (1930-1932) mais ne le publia pas. M.S. (en) et H.C. Longuet-Higgins ont indépendamment découvert 11 d'entre eux.
  • En 1954, Coxeter, M.S. Longuet-Higgins et Miller publièrent la liste des polyèdres uniformes.
  • En 1970 S. P. Sopov démontra leur conjecture établissant que la liste était complète.
  • En 1974, Magnus Wenninger (en) publia son livre, Polyhedron models (en) (patrons de polyèdres), qui est la première liste entière publiée des 75 polyèdres uniformes non prismatiques, dont beaucoup, auparavant sans nom publié, avaient été baptisés par Norman Johnson.
  • En 1975, John Skilling prouva indépendamment la complétude de cette liste, et montra que si la définition du polyèdre uniforme est assouplie pour autoriser la coïncidence des arêtes alors seule une possibilité supplémentaire est offerte.
  • En 1993, Zvi Har'El produisit une construction informatique complète des polyèdres uniformes et de leurs duaux via leurs construction kaleïdoscopiques via un programme informatique appelé Kaleido, et résumé dans un article intitulé Uniform Solution for Uniform Polyhedra., comptant les solides 1-80.
  • En 1993 aussi, R. Mäder porta cette solution Kaleido vers Mathematica avec un système d'indexation légèrement différent.

Indexation[modifier | modifier le code]

Il existe quatre efforts d'indexation majeurs publiés à partir des travaux ci-dessus. Pour les distinguer, ils sont donnés par différentes lettres d'indexation, C pour la première énumération des solides par Coxeter en 1954, W pour le livre de 1974 sur les patrons de polyèdres par Wenninger, K pour la solution Kaleido de 1993, et U pour la solution de Maeder utilisée par Mathematica et reproduite extensivement ailleurs.

  1. [C] 1954 : cet article listait les polyèdres uniformes par solides de 15 à 92. En démarrant avec 15-32 pour les formes convexes, 33-35 pour les 3 ensembles prismatiques infinis et finissant avec 36-92 pour les formes non-convexes.
  2. [W] 1974 : le livre de Wenninger Polyhedron model énumérait les solides de 1 à 119 : 1-5 pour les solides de Platon, 6-18 pour les solides d'Archimède, 19-66 pour les formes étoilées incluant les 4 polyèdres réguliers non-convexes et finissait avec 67-119 pour les polyèdres uniformes non-convexes.
  3. [K] 1993 Kaleido : les 80 solides donnés dans la solution Kaleido étaient groupés par symétrie, énumérés de 1 à 80 : 1-5 comme représentatifs des familles infinies des formes prismatiques avec la symétrie diédrale, 6-9 avec la symétrie tétraédrique (en), 10-26 avec la symétrie octaédrique (en), 46-80 avec la symétrie icosaédrique (en).
  4. [U] 1993 Mathematica : ce listing suivit celui de Kaleido, mais déplaça les 5 formes prismatiques vers la fin, décalant les formes non-prismatiques de 5, de 1 à 75.

Formes convexes et arrangements de sommet fondamentaux[modifier | modifier le code]

Les polyèdres uniformes convexes peuvent être nommés par les opérations de construction de Wythoff sur une forme parent.

Note : les dièdres font partie d'un ensemble infini de polyèdres à deux côtés (2 polygones identiques) qui engendre les prismes comme formes tronquées.

Chacune de ces formes convexes définit un ensemble de sommets qui peut être identifié pour les formes non-convexes dans la prochaine section.

Parent Tronqué Rectifié Bitronqué
(dual tronqué)
Birectifié
(dual)
Biseauté Omnitronqué
(Biseauté-tronqué)
Adouci
Symbole de Schläfli
Étendu
\begin{Bmatrix} p , q \end{Bmatrix} t\begin{Bmatrix} p , q \end{Bmatrix} \begin{Bmatrix} p \\ q \end{Bmatrix} t\begin{Bmatrix} q , p \end{Bmatrix} \begin{Bmatrix} q , p \end{Bmatrix} r\begin{Bmatrix} p \\ q \end{Bmatrix} t\begin{Bmatrix} p \\ q \end{Bmatrix} s\begin{Bmatrix} p \\ q \end{Bmatrix}
t0{p,q} t0,1{p,q} t1{p,q} t1,2{p,q} t2{p,q} t0,2{p,q} t0,1,2{p,q} s{p,q}
Symbole de Wythoff
p-q-2
q | p 2 2 q | p 2 | p q 2 p | q p | q 2 p q | 2 p q 2 | | p q 2
Diagramme de Coxeter-Dynkin
(variations)
CDW ring.svgCDW p.svgCDW dot.svgCDW q.svgCDW dot.svg CDW ring.svgCDW p.svgCDW ring.svgCDW q.svgCDW dot.svg CDW dot.svgCDW p.svgCDW ring.svgCDW q.svgCDW dot.svg CDW dot.svgCDW p.svgCDW ring.svgCDW q.svgCDW ring.svg CDW dot.svgCDW p.svgCDW dot.svgCDW q.svgCDW ring.svg CDW ring.svgCDW p.svgCDW dot.svgCDW q.svgCDW ring.svg CDW ring.svgCDW p.svgCDW ring.svgCDW q.svgCDW ring.svg CDW hole.svgCDW p.svgCDW hole.svgCDW q.svgCDW hole.svg
(o)-p-o-q-o (o)-p-(o)-q-o o-p-(o)-q-o o-p-(o)-q-(o) o-p-o-q-(o) (o)-p-o-q-(o) (o)-p-(o)-q-(o) ( )-p-( )-q-( )
xPoQo xPxQo oPxQo oPxQx oPoQx xPoQx xPxQx sPsQs
[p,q]:001 [p,q]:011 [p,q]:010 [p,q]:110 [p,q]:100 [p,q]:101 [p,q]:111 [p,q]:111s
Figure de sommet pq (q.2p.2p) (p.q.p.q) (p.2q.2q) qp (p.4.q.4) (4.2p.2q) (3.3.p.3.q)
Tétraédrique
3-3-2
Uniform polyhedron-33-t0.png
{3,3}
Uniform polyhedron-33-t01.png
(3.6.6)
Uniform polyhedron-33-t1.png
(3.3.3.3)
Uniform polyhedron-33-t12.png
(3.6.6)
Uniform polyhedron-33-t2.png
{3,3}
Uniform polyhedron-33-t02.png
(3.4.3.4)
Uniform polyhedron-33-t012.png
(4.6.6)
Uniform polyhedron-33-s012.png
(3.3.3.3.3)
Octaédrique
4-3-2
Uniform polyhedron-43-t0.png
{4,3}
Uniform polyhedron-43-t01.png
(3.8.8)
Uniform polyhedron-43-t1.png
(3.4.3.4)
Uniform polyhedron-43-t12.png
(4.6.6)
Uniform polyhedron-43-t2.png
{3,4}
Uniform polyhedron-43-t02.png
(3.4.4.4)
Uniform polyhedron-43-t012.png
(4.6.8)
Uniform polyhedron-43-s012.png
(3.3.3.3.4)
Icosaédrique
5-3-2
Uniform polyhedron-53-t0.png
{5,3}
Uniform polyhedron-53-t01.png
(3.10.10)
Uniform polyhedron-53-t1.png
(3.5.3.5)
Uniform polyhedron-53-t12.png
(5.6.6)
Uniform polyhedron-53-t2.png
{3,5}
Uniform polyhedron-53-t02.png
(3.4.5.4)
Uniform polyhedron-53-t012.png
(4.6.10)
Uniform polyhedron-53-s012.png
(3.3.3.3.5)
Diédrique
p-2-2
Exemple p=5
{5,2} 2.10.10 2.5.2.5 Pentagonal prism.png
4.4.5
{2,5} 2.4.5.4 Decagonal prism.png
4.4.10
Pentagonal antiprism.png
3.3.3.5

Définition des opérations[modifier | modifier le code]

Wythoffian construction diagram.png
Opération Étendu
Symboles
de Schläfli
Diagramme
de Coxeter-
Dynkin
Description
Parent t0{p,q} \begin{Bmatrix} p , q \end{Bmatrix} CDel node 1.pngCDel 3.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node.png Polyèdre régulier quelconque ou pavage
Rectifié t1{p,q} \begin{Bmatrix} p \\ q \end{Bmatrix} CDel node.pngCDel 3.pngCDel node 1.pngCDel 3.pngCDel node.png Les arêtes sont pleinement tronquées en points uniques. Le polyèdre maintenant possède les faces combinées du parent et du dual.
Birectifié
Dual
t2{p,q} \begin{Bmatrix} q , p \end{Bmatrix} CDel node.pngCDel 3.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node 1.png
Dual Cube-Octahedron.svg
Le birectifié (dual) est une troncature plus poussée c’est-à-dire que les faces originales sont réduites à des points. Les nouvelles faces sont formées sous chaque sommet du parent. Le nombre d'arêtes est inchangé et est tourné à 90 degrés. Le dual d'un polyèdre régulier {p, q} est aussi un polyèdre régulier {q, p}.
Tronqué t0,1{p,q} t\begin{Bmatrix} p , q \end{Bmatrix} CDel node 1.pngCDel 3.pngCDel node 1.pngCDel 3.pngCDel node.png Chaque sommet original est découpé, avec de nouvelles faces remplissant le trou. La troncature possède un degré de liberté, qui a une solution qui créée un polyèdre uniforme tronqué. Le polyèdre a ses faces originales doublées par côtés, et contient les faces du dual.
Cube truncation sequence.svg
Bitronqué t1,2{p,q} t\begin{Bmatrix} q , p \end{Bmatrix} CDel node.pngCDel 3.pngCDel node 1.pngCDel 3.pngCDel node 1.png Identique au dual tronqué.
Biseauté
(ou rhombé)
(développé)
t0,2{p,q} r\begin{Bmatrix} p \\ q \end{Bmatrix} CDel node 1.pngCDel 3.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node 1.png En ajout à la troncature des sommets, chaque arête originale est rabotée faisant apparaître à la place de nouvelles faces rectangulaires. Un biseautage uniforme est à mi-chemin entre le parent et les formes duales.
Cube cantellation sequence.svg
Omnitroncature
(ou biseautage-troncature)
(ou rhombi-tronqué)
t0,1,2{p,q} t\begin{Bmatrix} p \\ q \end{Bmatrix} CDel node 1.pngCDel 3.pngCDel node 1.pngCDel 3.pngCDel node 1.png Les opérations de troncature et de biseautage sont appliquées ensemble, créant une forme omnitronquée qui a les faces du parent doublées sur les côtés, les faces du dual doublées sur les côtés et des carrés où les arêtes originales existaient.
Adouci s{p,q} s\begin{Bmatrix} p \\ q \end{Bmatrix} CDel node h.pngCDel 3.pngCDel node h.pngCDel 3.pngCDel node h.png L'adoucissement prend la forme omnitronquée et rectifie les sommets alternativement (cette opération est seulement possible pour les polyèdres avec toutes les faces sur les côtés paires). Toutes les faces originales finissent avec la moitié des côtés, et le carré dégénère en arêtes. Puisque les formes omnitronquées ont 3 faces/sommet, de nouveaux triangles sont formés.
Snubcubes in grCO.png

Formes non-convexes listées par groupes de symétrie et par arrangements de sommet[modifier | modifier le code]

Tous les polyèdres uniformes sont listés ci-dessous par leurs groupes de symétrie et sous-groupés par leurs arrangements de sommet.

Les polyèdres réguliers sont marqués par leurs symboles de Schläfli. Les autres polyèdres non-réguliers uniformes sont listés par leur configuration de sommet ou par l'index des polyèdre uniforme U(1-80).

Note : Pour les formes non-convexes, un descripteur supplémentaire Non-uniforme est utilisé lorsque l'enveloppe convexe de l'arrangement de sommet possède la même topologie que l'un d'entre-eux, mais possède des faces non-régulières. Par exemple, une forme biseautée non-uniforme peut avoir des rectangles créés à la place d'arêtes plutôt que des carrés.

Symétrie tétraédrique[modifier | modifier le code]

Il existe deux polyèdres uniformes convexes, le tétraèdre et le tétraèdre tronqué, et une forme non-convexe, le tétrahémihexaèdre qui possède une symétrie tétraédrique (en). Le tétraèdre est un polyèdre autodual.

En plus, l'octaèdre, l'octaèdre tronqué, le cuboctaèdre et l'icosaèdre ont une symétrie tétraédrique de même qu'une symétrie plus élevée. Ils sont ajoutés pour l'exhaustivité ci-dessous, bien que leurs formes non-convexes avec la symétrie octaédrique ne soient pas incluses ici.

Groupe de sommet Convexe Non-convexe
(Tétraèdre) Tetrahedron.png
{3,3}
Tronqué (*) Truncated tetrahedron.png
(3.6.6)
Rectifié (*) Rectified tetrahedron.png
{3,4}
Tetrahemihexahedron.png
(4.3/2.4.3)
Biseauté (*) Cantellated tetrahedron.png
(3.4.3.4)
Omnitronqué (*) Uniform polyhedron-33-t012.png
(4.6.6)
Adouci (*) Snub tetrahedron.png
{3,5}

Symétrie octaédrique[modifier | modifier le code]

Il existe 8 formes convexes et 10 formes non-convexes avec la symétrie octaédrique.

Groupe de sommet Convexe Non-convexe
(Octaédrique) Octahedron.png
{3,4}
Tronqué (*) Truncated octahedron.png
(4.6.6)
Rectifié (*) Cuboctahedron.png
(3.4.3.4)
Cubohemioctahedron.png
(6.4/3.6.4)
Octahemioctahedron.png
(6.3/2.6.3)
Dual tronqué (*) Truncated hexahedron.png
(3.8.8)
Great rhombihexahedron.png
(4.8/3.4/3.8/5)
Great cubicuboctahedron.png
(8/3.3.8/3.4)
Uniform great rhombicuboctahedron.png
(4.3/2.4.4)
Dual (*) Hexahedron.png
{4,3}
Biseauté (*) Small rhombicuboctahedron.png
(3.4.4.4)
Small rhombihexahedron.png
(4.8.4/3.8)
Small cubicuboctahedron.png
(8.3/2.8.4)
Stellated truncated hexahedron.png
(8/3.8/3.3)
Omnitronqué (*) Great rhombicuboctahedron.png
(4.6.8)
Omnitronqué non-uniforme (*) (4.6.8) Great truncated cuboctahedron.png
(8/3.4.6)
Cubitruncated cuboctahedron.png
(8/3.6.8)
Adouci (*) Snub hexahedron.png
(3.3.3.3.4)

Symétrie icosaédrique[modifier | modifier le code]

Il existe 8 formes convexes et 46 formes non-convexes avec la symétrie icosaédrique (ou 47 formes non-convexes si le polyèdre de Skilling est inclus). Certaines formes adoucies non-convexes ont une symétrie chirale non-uniforme, et certaines ont une symétrie achirale.

Il existe beaucoup de formes non-uniformes de degrés variés de troncature et de biseautage.

Groupe de sommet Convexe Non-convexe
(Icosaédrique) Icosahedron.png
{3,5}
Small stellated dodecahedron.png
{5/2,5}
Great dodecahedron.png
{5,5/2}
Great icosahedron.png
{3,5/2}
Tronqué (*) Truncated icosahedron.png
(5.6.6)
Tronqué non-uniforme (*) (5.6.6) Small snub icosicosidodecahedron.png
U32
Great truncated dodecahedron.png
U37
Great dodecicosidodecahedron.png
U61
Rhombidodecadodecahedron.png
U38
Icosidodecadodecahedron.png
U44
Rhombicosahedron.png
U56
Uniform great rhombicosidodecahedron.png
U67
Great rhombidodecahedron.png
U73
Rectifié (*) Icosidodecahedron.png
(3.5.3.5)
Small icosihemidodecahedron.png
U49
Small dodecahemidodecahedron.png
U51
Great icosidodecahedron.png
U54
Great dodecahemidodecahedron.png
U70
Great icosihemidodecahedron.png
U71
Dodecadodecahedron.png
U36
Small dodecahemicosahedron.png
U62
Great dodecahemicosahedron.png
U65
Dual tronqué (*) Truncated dodecahedron.png
(3.10.10)
Great ditrigonal dodecicosidodecahedron.png
U42
Great icosicosidodecahedron.png
U48
Great dodecicosahedron.png
U63
Dual tronqué non-uniforme (*) (3.10.10) Great truncated icosidodecahedron.png
U68
Small retrosnub icosicosidodecahedron.png
U72
Icositruncated dodecadodecahedron.png
U45
Dual (*) Dodecahedron.png
{5,3}
Great stellated dodecahedron.png
{5/2,3}
Small ditrigonal icosidodecahedron.png
U30
Ditrigonal dodecadodecahedron.png
U41
Great ditrigonal icosidodecahedron.png
U47
Biseauté (*) Small rhombicosidodecahedron.png
(3.4.5.4)
Small dodecicosidodecahedron.png
U33
Small rhombidodecahedron.png
U39
Biseauté non-uniforme (*) (3.4.5.4) Small icosicosidodecahedron.png
U31
Small ditrigonal dodecicosidodecahedron.png
U43
Small dodecicosahedron.png
U50
Great truncated icosahedron.png
U55
Small stellated truncated dodecahedron.png
U58
Great dirhombicosidodecahedron.png
U75
Great snub dodecicosidodecahedron.png
U64
Great stellated truncated dodecahedron.png
U66
Omnitronqué (*) Great rhombicosidodecahedron.png
(4.6.10)
Omnitronqué non-uniforme (*) (4.6.10) Truncated dodecadodecahedron.png
U59
Adouci (*) Snub dodecahedron ccw.png
(3.3.3.3.5)
Adouci non-uniforme (*) (3.3.3.3.5) Snub dodecadodecahedron.png
U40
Snub icosidodecadodecahedron.png
U46
Great snub icosidodecahedron.png
U57
Great inverted snub icosidodecahedron.png
U69
Inverted snub dodecadodecahedron.png
U60
Great retrosnub icosidodecahedron.png
U74

Polyèdre de Skilling[modifier | modifier le code]

Il existe un polyèdre non-convexe supplémentaire appellé le Grand dirhombidodécaèdre disadouci, aussi connu sous le nom polyèdre de Skilling. Il est de sommets uniformes, mais des paires d'arêtes coïncident dans l'espace de telle sorte que quatre faces se rencontrent à certains sommets. Il est quelquefois, mais pas toujours, compté comme un polyèdre uniforme. Il possède une symétrie Ih.

Great disnub dirhombidodecahedron.png

Symétrie diédrique[modifier | modifier le code]

Il existe deux ensembles infinis de polyèdres uniformes avec la symétrie diédrique :

Si p/q est un nombre entier, i.e. si q = 1, le prisme ou l'antiprisme est convexe (la fraction est toujours supposée irréductible).

La différence entre les groupes de symétrie prismatiques et antiprismatique réside dans le fait que Dph possède un plan de réflexion parallèle au polygone {p/q}, alors que Dpd n'en possède pas.

Un antiprisme avec p/q < 2 est croisé; sa figure de sommet ressemble à un nœud papillon. Si p/q ≤ 3/2, aucun antiprisme ne peut exister, comme sa figure de sommet violerait l'inégalité triangulaire.

Note : le cube et l'octaèdre sont listés ici avec la symétrie diédrique (en tant que prisme tétragonal et antiprisme trigonal respectivement), bien qu'étant uniformément coloré, ils ont aussi une symétrie octaédrique.

Groupe de
symétrie
Convexe Non-convexe
d3h Triangular prism.png
3.3.4
d3d Trigonal antiprism.png
3.3.3.3
d4h Tetragonal prism.png
4.4.4
d4d Square antiprism.png
3.3.3.4
d5h Pentagonal prism.png
4.4.5
Pentagrammic prism.png
4.4.5/2
Pentagrammic antiprism.png
3.3.3.5/2
d5d Pentagonal antiprism.png
3.3.3.5
Pentagrammic crossed antiprism.png
3.3.3.5/3
d6h Hexagonal prism.png
4.4.6
d6d Hexagonal antiprism.png
3.3.3.6
d7h Prism 7.png
4.4.7
Heptagrammic prism 7-2.png
4.4.7/2
Heptagrammic prism 7-3.png
4.4.7/3
Antiprism 7-2.png
3.3.3.7/2
Antiprism 7-4.png
3.3.3.7/4
d7d Antiprism 7.png
3.3.3.7
Antiprism 7-3.png
3.3.3.7/3
d8h Octagonal prism.png
4.4.8

4.4.4.8/3
d8d Octagonal antiprism.png
3.3.3.8
3.3.3.8/3
3.3.3.8/5
d9h
4.4.9
Prism 9-2.png
4.4.9/2
3.3.3.9/2 3.3.3.9/4
d9d 3.3.3.9 3.3.3.9/5
d10h Decagonal prism.png
4.4.10
4.4.10/3
d10d Decagonal antiprism.png
3.3.3.10
3.3.3.10/3
d11h Prism 11.png
4.4.11
4.4.11/2
4.4.11/3
4.4.11/4
4.4.11/5
3.3.3.11/2
3.3.3.11/4
3.3.3.11/6
d11d 3.3.3.11 3.3.3.11/3
3.3.3.11/5
3.3.3.11/7
d12h Dodecagonal prism.png
4.4.12
4.4.12/5 3.3.3.12/7
d12d Dodecagonal antiprism.png
3.3.3.12
3.3.3.12/5
...

Références[modifier | modifier le code]

  • (en) Cet article est partiellement ou en totalité issu de l’article de Wikipédia en anglais intitulé « Uniform polyhedron » (voir la liste des auteurs)
  • Brückner, M. Vielecke und vielflache. Theorie und geschichte.. Leipzig, Germany: Teubner, 1900. [1]
  • H.S.M. Coxeter, M.S. Longuet-Higgins, J.C.P. Miller, Uniform polyhedra, Phil. Trans. 1954, 246 A, 401-50 [2]
  • S. P. Sopov A proof of the completeness on the list of elementary homogeneous polyhedra. (Russian) Ukrain. Geometr. Sb. No. 8, (1970), 139-156
  • John Skilling (en), The complete set of uniform polyhedra., Philos. Trans. Roy. Soc. London Ser. A 278 (1975), 111-135 [3]
  • Har'El, Z. Uniform Solution for Uniform Polyhedra., Geometriae Dedicata 47, 57-110, 1993. Zvi Har’El [4], Kaleido software, Images, dual images
  • Mäder, R. E. Uniform Polyhedra. Mathematica J. 3, 48-57, 1993. [5]

Voir aussi[modifier | modifier le code]

Liens externes[modifier | modifier le code]