Patron (géométrie)

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Un patron du dodécaèdre régulier.

En géométrie, le patron (ou développement) d’un solide est une figure géométrique plane qui permet d’obtenir le solide après des pliages (au niveau de certaines arêtes du solide, les autres apparaissant par jonction des bords du patron) et parfois des torsions (lorsque le solide possède des faces non planes — mais forcément de courbure nulle). On dit que le solide est décomposé.

Alors que le patron de certains solides est facile à tracer, d’autres, à la décomposition plus difficile, ont une reproduction complexe, utilisant des principes complexes (figures qui n’ont pas de faces planes ou des faces complexes, telle le cas du cylindre, ou figures nécessitant tracés et calculs spéciaux tels que nécessaires pour remplir un cercle pour le transformer en disque ou pour une épaisseur spécifique) pour pouvoir fournir leur parfait état normal en tant que solide (un ordinateur décomposé, par exemple). L’assemblage d’un patron est complexe, et nécessite du matériel dans la plupart des cas outre les polyèdres.

Patrons de solides[modifier | modifier le code]

Polyèdres[modifier | modifier le code]

Les onze développements d'un cube.
Un des trois patrons du tétraèdre régulier.

Un polyèdre est un solide composé uniquement de faces planes polygonales (triangles, quadrilatèresetc.). On trouve parmi eux le cube, les parallélépipèdes (également connus sous le nom de « pavés »), les pyramides (possédant une base polygonale — quelle qu’elle soit), etc.

On considère en ces cas les patrons possibles comme étant une représentation des faces du solide jointes par leurs côtés (on exclut la jonction des faces par un point unique, qui deviendrait un sommet du solide).

Patron des parallélépipèdes 
Les parallélépipèdes (rhomboèdres, parallélépipèdes rectangles, cubes…) sont composés de six faces parallèles deux à deux, pour douze arêtes et huit sommets. Ils possèdent onze patrons possibles, que l’on peut tracer par déformation des patrons d’un cube (parallélépipède particulier dont les faces sont carrées) ; six d’entre ces derniers sont obtenus par un alignement de quatre carrés, de chaque côté duquel on place une face supplémentaire (formant une croix ou un « T », par exemple).
Patron des pyramides 
Une pyramide possède une base polygonale, dont chaque sommet est lié par une arête à un point unique situé hors du plan de la base, l’apex ; elle possède donc une face de plus que sa base n’a de côtés, et seule la base n’est pas nécessairement triangulaire. Le patron le plus évident d’une pyramide ressemble à une étoile : sa base polygonale forme le centre, et les autres faces (triangulaires) se déploient autour. D’autres patrons sont cependant possibles : il suffit d’attacher habilement les faces triangulaires suivant les arêtes partant de l’apex. Le tétraèdre régulier, qui peut être vu comme une pyramide à base triangulaire dont tous les côtés sont égaux, possède trois développements (l’un forme un grand triangle, le deuxième une bande de quatre petits triangles, le troisième un hexagone régulier duquel on a enlevé un tiers en forme de losange).

Avec faces non planes[modifier | modifier le code]

Il est possible de réaliser le patron d’un solide possédant une ou plusieurs faces non planes, à condition que celles-ci possèdent une courbure nulle. Ainsi, il est possible de réaliser le patron d’un cône ou d’un cylindre, mais impossible de faire le patron d'une sphère (sa courbure de Gauss vaut l’inverse de son rayon au carré). En ce cas, on accepte dans les patrons des points de jonction uniques entre deux faces, le plus couramment entre le développement d’une face courbe du solide et le bord arqué d’une face plane.

Cône 
Le cône est composé :
  • d'une part d'une matrice à laquelle son aire est proportionnelle au périmètre et à l'aire usuelle de la base de celui-ci.
  • d'une autre la base, en forme de cercle.
Son patron est le résultat d'un triangle rectangle (pensez à une équerre) qui tourne en rotation. Il n'y a donc qu'une seule base visible, car la pointe forme le seul sommet du cône. Son patron est composé, en haut, d'une forme de croissant symbolisé par un point (appelons-le "S"), à laquelle deux segments sont alors tracés à sa droite et à sa gauche, inclinant légèrement vers le côté d'où ils partent. Les points alors tracés à la fin de l'inclinaison à droite et à gauche du point "S", sont reliés par un arc proportionnelle à l'aire usuelle de la base, formant donc notre "croissant". La base est un simple cercle. Il faut assembler la matrice perpendiculairement, dans le sens de la profondeur du cercle, et mettre ses plis sur la base.
Cylindre (droit) 
Le cylindre droit est composé de "deux bases" qui sont des disques superposables, et d'une surface latérale, qui, coupée en deux moitiés distinctes dans le sens perpendiculaire aux disques, forme un segment droit (d'où l'appellation de cylindre "droit"), qui, s'il était recopié sur des autres morceaux perpendiculaires au disque, formerait aussi des droites (la surface latérale étant en fait composé de milliers de droites !). Il peut donc rouler ou être fixe selon sa position.
Son patron est en fait le résultat d'un rectangle qui tourne en rotation sur lui-même, formant donc une multitude de points, qui assemble donc le cylindre. Ses deux bases sont tout simplement le résultat de sa rotation. C'est aussi à cause de cela que, coupé en deux dans le sens perpendiculaire au disque, il forme une droite rectangulaire. Son patron donc ressemble au sigle "pourcentage". Il faut dessiner les cercles avec une aire aussi grosse que celle du rectangle. Il faut ensuite assembler les ronds vers le haut, et de plier son rectangle en deux (ils doivent former un récipient). Il faut assembler ensuite les bouts, de bas en haut, pour donner finalement un cylindre droit.