Groupe alterné

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En mathématiques, et plus précisément en théorie des groupes, le groupe alterné de degré n, souvent noté An, est un sous-groupe distingué du groupe symétrique des permutations d'un ensemble fini à n éléments. Ce sous-groupe est composé des éléments produits d'un nombre pair de transpositions. Une transposition est une permutation φ réduite à l'identité sauf sur exactement 2 éléments a et b. Cette propriété implique que φ(a) = b et φ(b) = a.

Il existe un groupe alterné pour chaque entier n supérieur ou égal à 2 ; il se note habituellement An (ou parfois \mathfrak A_n en écriture Fraktur) et possède n ! / 2 éléments. Le plus petit groupe alterné, A2, est trivial, A3 est cyclique d'ordre 3, le suivant A4 est résoluble et, plus précisément, est produit semi-direct d'un groupe de Klein par un groupe cyclique d'ordre 3. À partir du groupe A5, les groupes alternés sont simples et non abéliens, donc non résolubles. Cette non résolubilité à partir de n = 5 possède comme conséquence le théorème d'Abel, stipulant qu'il ne peut exister d'expression générique par radicaux d'une équation algébrique de degré supérieur ou égal à 5.

Le groupe alterné est la structure source de certains casse-tête mathématique comme le jeu de taquin ou le cube de Rubik. Les mouvements possibles dans les deux jeux cités sont des éléments d'un groupe alterné. Cette propriété permet de montrer qu'il n'est pas possible de permuter deux cases du taquin sans modifier le reste du jeu.

Les groupes alternés de degré 4 et 5 se représentent comme le groupe des rotations laissant invariant un polyèdre régulier, le tétraèdre pour A4 et le dodécaèdre régulier ou encore l'icosaèdre pour A5.

Construction du groupe[modifier | modifier le code]

Définition[modifier | modifier le code]

Un résultat, à la base de la définition de la signature, stipule que le nombre de transpositions nécessaires pour décomposer une permutation donnée est toujours de même parité. Ainsi, le cycle (abc), qui transforme a en b, b en c et c en a peut se décomposer en deux transpositions (bc), puis (ab) ou encore en (ac) puis (bc) mais jamais en un produit d'un nombre impair de transpositions.

Définition —  Une permutation est dite paire lorsqu'elle se décompose en un nombre pair de transpositions. Dans le cas inverse, la permutation est dite impaire.

Cette définition est à l'origine de celle d'un groupe alterné.

Définition —  Le groupe alterné de degré n, noté An, est le sous-groupe des permutations paires de degré n[1].

Remarque : On trouve aussi l'expression groupe alterné d'indice n, à la place de groupe alterné de degré n[2]. Ce choix est un peu ambigu, l'indice de An dans Sn désigne, pour d'autres auteurs, le cardinal du groupe quotient Sn/An[3]. On trouve encore le terme d'ordre pour décrire le degré[4]. Cette convention est plus rarement utilisée, car le terme d'ordre étant employé en théorie des groupes pour décrire le cardinal d'un groupe, ce choix introduit une confusion parfois regrettable.

Propriétés élémentaires[modifier | modifier le code]

Article détaillé : groupe symétrique.

Dans toute la suite de l'article, n désigne un entier supérieur ou égal à 2. La définition précédente repose sur une propriété fondamentale partagée par toutes les permutations :

Propriété 1 —  La parité du nombre de transpositions nécessaires pour décomposer une permutation donnée est indépendante de la décomposition choisie.

Cette propriété se démontre à l'aide du concept de signature d'une permutation, traitée dans le paragraphe suivant. Une fois établie, une deuxième propriété se démontre simplement :

Propriété 2 —  L'ensemble An des permutations paires de Sn forme un sous-groupe distingué.

En effet, An est non vide car il contient l'élément neutre, qui se décompose en zéro transposition, ou encore en deux fois la même transposition. Si φ1 et φ2 sont deux permutations paires alors leur produit est aussi une permutation paire. Pour s'en rendre compte, il suffit d'utiliser qu'il existe des transpositions σ1, … , σ2p, τ1, … , τ2q, telles que φ1 = σ1…σ2p et φ2 = τ1…τ2q. Le produit φ12 est égal à σ1…σ2p1…τ2q, produit de 2(p+q) transpositions : c'est bien une permutation paire. Il reste à montrer que l'inverse de φ1 est bien une permutation paire : cet inverse est égal à σ2p…σ1, le produit des mêmes transpositions pris dans l'ordre inverse.

Dire que An est distingué revient à dire que si φ est élément du sous-groupe et si σ est une permutation quelconque de Sn, alors σ.φ.σ-1 est une permutation paire. En effet, φ est le produit d'un nombre pair de transpositions, et le paragraphe précédent montre que σ-1 se décompose en autant de transpositions que σ. La somme du nombre de toutes ces transpositions est nécessairement paire.

Propriété 3 —  L'ordre de An est la moitié de celui de Sn, c'est-à-dire n!/ 2.

En effet, fixons dans Sn une transposition σ et considérons l'application f de Sn dans Sn qui, à une permutation φ, associe φσ. Une telle application est, dans un groupe, appelé translation à droite. La fonction f, comme toute translation, est une bijection. De plus, φ est paire si et seulement si φσ est impaire, donc f se restreint en une bijection de An dans l'ensemble des permutations impaires. Ces deux ensembles ont par conséquent même cardinal. Or ils forment une partition de Sn, ce qui termine la démonstration.

Propriété 4 —  Soit m, un entier inférieur ou égal à n. Un cycle de Sn et de longueur m est élément du groupe alterné si, et seulement si, m est impair.

Une démonstration par récurrence en est donnée dans l'article « Permutation circulaire ».

Signature[modifier | modifier le code]

Article détaillé : signature d'une permutation.

La signature d'une permutation est la parité du nombre d'inversions contenues dans une permutation. On démontre que cette application est un morphisme de groupes de Sn dans {-1, 1} et que la signature d'une transposition est toujours égale à -1. On en déduit que le nombre de transpositions nécessaires pour décomposer une permutation ne peut être tantôt pair et tantôt impair. En effet, si φ est une permutation qui se décompose en p ou bien q transpositions, la signature de φ, d'après la propriété de morphisme, est à la fois égale à (-1)p et (-1)q, ce qui montre que p et q sont de même parité. On en déduit une nouvelle définition du groupe alterné, équivalente à la précédente :

Définition alternative —  Le groupe alterné An est le noyau du morphisme signature du groupe symétrique Sn[5].

Cette approche offre des démonstrations alternatives aux propositions du paragraphe précédent numérotées de 2 et 3. Le noyau d'un morphisme est toujours un sous-groupe distingué, ce qui montre que An est un sous-groupe distingué. L'ordre du noyau que multiplie l'ordre de l'image d'un morphisme de groupe est égal à l'ordre du groupe de départ, ce qui permet de déterminer l'ordre du groupe alterné.

Exemples[modifier | modifier le code]

Le groupe alterné de degré 2 ne contient que l'élément neutre.

Le groupe symétrique de degré 3 est d'ordre 6 et contient : l'identité, trois transpositions et deux cycles d'ordre 3. Le groupe alterné de degré 3 ne comporte que l'identité et les cycles d'ordre 3 :

\mathfrak A_3 = \{\text{I},\,(123),\,(132)\}

Comme tout groupe contenant 3 éléments, il est cyclique.

Le groupe symétrique de degré 4 est d'ordre 24, le groupe alterné associé est d'ordre 12. Il contient les cycles d'ordre 3 et les produits de 2 cycles d'ordre 2 de supports disjoints :

\mathfrak A_4 = \{\text{I},\,(234),\,(243),\,(134),\,(143),\,(124),\,(142),\,(123),\,(132),\,(12)(34),\,(13)(42),\,(14)(23)\}

Le groupe alterné de degré 4 n'est pas abélien. Pour s'en rendre compte, il suffit de remarquer que les cycles (1 2 3) et (2 3 4) ne commutent pas. Aucun groupe alterné de degré supérieur à 4 n'est abélien, car ces groupes contiennent tous une copie de A4, qui ne l'est pas. Le groupe alterné de degré 4 est néanmoins résoluble, il contient un sous-groupe distingué abélien, composé des produits de deux transpositions à support disjoints et de l'élément neutre. Ce groupe est abélien car isomorphe au groupe de Klein et le quotient de A4 par le groupe distingué est aussi abélien car d'ordre 3 et donc cyclique.

Le groupe alterné de degré 5 est d'ordre 60. Il est étudié plus avant à la suite de cet article.

Jeu de taquin[modifier | modifier le code]

Article détaillé : Taquin.
Jeu de taquin résolu
Jeu de taquin non résoluble

Le jeu de taquin, est un jeu solitaire qui se présente sous la forme d'un damier composé de 15 cases et d'une 16e manquante. Sa théorisation mathématique date de 1879 et se fonde sur les propriétés du groupe alterné[6]. Une des questions posée par Sam Loyd est celle de la résolution du jeu de taquin illustré à droite. Elle correspond à la résolution d'un état du jeu où toutes les cases sont à la bonne position exceptées celles numérotées 14 et 15, qui sont interverties. Elle est impossible si l'on impose à la case vide d'être en bas à droite. Elle l'est si on admet que la case vide soit en haut à gauche et que la première ligne ne contienne que les cases 1, 2 et 3.

Si l'on considère un mouvement comme une permutation des cases numérotées de 1 à 15, alors le groupe des permutations de degré 15 opère sur le jeu de taquin. Pour être plus précis, le groupe qui opère est un sous-groupe engendré par les différentes permutations possibles. Il est relativement simple de vérifier que les permutations engendrant le sous-groupe sont toutes des cycles d'ordre 3 ou 5[7]. Ces permutations sont toutes dans le groupe alterné A15. Le groupe qui opère sur le jeu de taquin est un sous-groupe du groupe alterné A15, qui ne contient aucune transposition. C'est une manière simple de démontrer que la configuration de droite n'est pas résoluble.

D'autres solitaires, comme l'Âne rouge ou le Rubik's Cube utilisent de manière analogue le groupe alterné.

Classes de conjugaison[modifier | modifier le code]

Article détaillé : Classe de conjugaison.

Structure[modifier | modifier le code]

La structure des classes de conjugaison est l'un des premiers éléments à étudier dans le cadre d'une analyse d'un groupe non abélien. Elles sont utilisées dans la suite de l'article pour établir que si n est strictement supérieur à 4, le groupe est simple, ou encore que tout groupe simple d'ordre 60 est isomorphe à A5.

Dans un groupe symétrique, les classes de conjugaison sont composées de produits de cycles à supports disjoints de même structure, c'est-à-dire de même nombre et de mêmes longueurs. En conséquence, les classes de conjugaison du groupe alterné sont aussi composées de produits de cycles à supports disjoints de même structure ; plus précisément :

  • Une classe de conjugaison dans An est constituée d'éléments ayant la même structure. Les permutations ayant cette structure constituent :
    • une classe si la structure comporte un cycle de longueur paire ou deux cycles de même longueur (éventuellement égale à 1),
    • deux classes sinon[8].

Une classe de conjugaison, ou deux dans les cas de A3 et A4, joue un rôle particulier, celle constituée des cycles d'ordre 3 :

  • Les cycles d'ordre 3 engendrent le groupe alterné.

Exemples[modifier | modifier le code]

La seule classe de conjugaison de S4 qui se trouve divisée en deux dans A4 est celle des cycles d'ordre 3. Un tel élément est en effet composé de deux cycles de longueurs impaires et différentes : 1 et 3. Les cycles d'ordre 1 sont en effet comptés. La classe de l'élément neutre ne contient qu'un élément et n'est jamais divisée. Celle des permutations composées de deux transpositions à supports disjoints n'est pas divisée en deux, car une telle permutation contient des cycles de longueurs paires ou encore car elle contient deux cycles de même longueur. On obtient 4 classes de conjugaison : l'identité, les produits de deux cycles disjoints d'ordre 2 et deux classes de cycles d'ordre 3 :

C_I=\{I\},\quad C_{2,2}=\{(12)(34),~(13)(24),~(14)(23)\},
C_{3a}=\{(123),~(142),~(134),~(234)\}\quad\text{et}\quad C_{3b}=\{(132),~(124),~(143),~(243)\}.

Dans le cas de A5, il est plus long d'écrire toutes les classes en extension, on trouve en effet 60 éléments. Il existe 5 classes de conjugaison. Une contient l'identité, une autre 15 permutations formées de deux transpositions à supports disjoints. Cette classe n'est pas divisée car elle contient un cycle de longueur paire. Les 20 cycles d'ordre 3 ne forment plus qu'une classe de conjugaison. Ils sont maintenant complétés par deux cycles de même longueur, ceux d'ordre 1. Enfin, les cycles d'ordre 5 sont divisés en 2 classes de conjugaisons contenant 12 permutations chacune[9].

Groupe simple[modifier | modifier le code]

Article détaillé : Groupe simple.

Simplicité et groupe alterné[modifier | modifier le code]

Une propriété éventuelle et importante d'un groupe est d'être simple, ce qui signifie qu'il ne contient pas de sous-groupe normal propre.

  • Si n est un entier supérieur ou égal à 5, le groupe alterné de degré n est simple.

Les groupes alternés forment une deuxième série infinie de groupes simples, après ceux, abéliens et d'ordre un nombre premier. Cette série contient le plus petit groupe simple non commutatif :

  • Le groupe alterné de degré 5 est le plus petit groupe simple non abélien et tout groupe simple d'ordre 60 est isomorphe à A5[10],[11].

La structure de groupe alterné intervient par exemple dans la résolution d'une équation algébrique par radicaux, à travers la proposition suivante :

  • Si n est un entier supérieur ou égal à 5, le seul sous-groupe normal propre de Sn est An, donc Sn n'est pas résoluble.

Exemple[modifier | modifier le code]

Article détaillé : Théorème d'Abel (algèbre).
Nappe qui à z, associe le module de P(z)

Si le groupe de Galois d'un polynôme irréductible sur un corps parfait comme ℚ, celui des nombres rationnels, n'est pas résoluble, alors les racines du polynômes ne s'expriment pas à l'aide de radicaux. Tel est le contenu de la version formulée par Évariste Galois et en langage moderne, du théorème d'Abel. Les exemples les plus simples s'obtiennent à l'aide d'équation du cinquième degré dont le groupe de Galois est le groupe symétrique S5, qui n'est pas résoluble d'après les résultats précédents. Le théorème d'Abel montre que l'équation P(X) = 0 n'est alors pas résoluble par radicaux dans ℚ.

Le polynôme à coefficients dans le corps ℚ des nombres rationnels : P(X) = X5 - 3X - 1 est un exemple de polynôme de cette nature[12], ce qui se démontre relativement simplement. Ce polynôme est illustré sur la figure de droite, plus précisément cette figure illustre la nappe qui à un nombre complexe z associe le module de P(z) pour les points de coordonnée imaginaire positive. On remarque que l'équation associée possède 5 racines dont trois réelles, de valeurs approximatives -1,21 -0,33 et 1,39 et deux imaginaires 0,08 + 1,33.i et son conjugué 0,08 - 1,33.i. L'existence d'un unique couple de racines imaginaires conjuguées montre l'existence d'une transposition dans le groupe. Le fait qu'il n'existe qu'une unique racine dans le disque unité, illustré en vert sur la figure, est l'un des arguments possibles[13] pour montrer que le polynôme est irréductible dans ℚ. On en déduit que le groupe contient un élément d'ordre 5. L'existence de ces deux éléments (transposition et élément d'ordre 5) établit que le groupe de Galois est isomorphe à S5.

Remarque 1. Il est impropre de dire que l'équation P(z) = 0 n'est pas résoluble. Cette équation possède 5 racines qui s'approximent aussi précisément qu'on le souhaite et qui s'expriment exactement à l'aide d'intégrales elliptiques. En revanche, ces racines ne peuvent s'exprimer à l'aide des quatre opérations et de radicaux, ce qui démontre qu'il n'est pas possible de trouver une expression des racines dans le cas général d'une équation du cinquième degré, comme on peut le faire pour les équations de degré 1, 2, 3 ou 4.

Remarque 2. Les groupes simples non abéliens qui interviennent dans les groupes de Galois ne sont pas nécessairement des groupes alternés. Il existe ainsi un polynôme de degré 7 ayant pour groupe de Galois un groupe simple d'ordre 168. En revanche, si un polynôme de degré 5 n'est pas résoluble, cela signifie nécessairement que le groupe de Galois contient comme sous-groupe distingué le groupe alterné de degré 5.

Représentation[modifier | modifier le code]

Caractère[modifier | modifier le code]

Une manière d'étudier un groupe fini G est de le représenter à l'aide d'un sous-groupe d'un groupe linéaire. Le cas le plus simple est celui où le corps de l'espace vectoriel est celui des nombres complexes. Certaines représentations sont dites irréductibles : elles sont non nulles et ne possèdent pas de sous-espaces stables par la représentation autres que l'espace entier et l'espace nul.

Le caractère d'une représentation est l'application qui à un élément du groupe associe la trace de son endomorphisme. Si la représentation φ est irréductible, son caractère χφ est de norme 1, pour la norme définie par le produit hermitien suivant, où |G| est l'ordre du groupe G :

\langle\chi_\varphi,\chi_\varphi\rangle=\frac1{|G|}\sum_{g\in G}\chi_{\varphi}(g)\cdot\overline{\chi_\varphi(g)}.

Les caractères de deux représentations irréductibles non isomorphes sont orthogonaux et si χi désignent les différents caractères des représentations irréductibles et e l'élément neutre du groupe G, alors :

(1)\quad \vert G \vert = \sum_i \chi_i(e)^2.

Groupe alterné de degré 4[modifier | modifier le code]

Un premier caractère irréductible est donné par la représentation triviale t dans un espace de dimension 1. À chaque élément de A4 cette représentation associe l'automorphisme identité, le caractère χt de cette représentation associe 1 à chaque élément du groupe A4.

On obtient une deuxième représentation φ par restriction de la représentation φ1 de S4 aux éléments de A4, en utilisant les notations de l'article Représentations du groupe symétrique. Comme la valeur d'un caractère ne dépend pas du choix d'un élément pris dans une même classe de conjugaison, le caractère est défini par χφ(e) = 3, χφ(ab)(cd) = -1 et χφ(abc) = χφ(acb) = 0. Un calcul montre que la norme de cette représentation est égale à 1, elle est donc irréductible.

Il existe un morphisme de A4 dans le groupe cyclique d'ordre 3. Il existe deux représentations irréductibles de degré 1 non triviales du groupe cyclique d'ordre 3. La première associe j, la racine cubique de l'unité de partie imaginaire strictement positive, à un élément d'ordre 3 et la deuxième associe son conjugué à la même valeur.

L'égalité (1) montre qu'il n'existe pas d'autre représentation irréductible, à un isomorphisme près. En effet, 32 + 12 + 12 + 12 est égal à 12, l'ordre du groupe alterné de degré 4. On en déduit la table des caractères[14] :

Car. irr. 1 (ab)(cd) (abc) (acb)
t 1 1 1 1
σ1 1 1 j j2
σ2 1 1 j2 j
φ 3 –1 0 0

Il existe une représentation de dimension 3. Elle est utilisée dans le paragraphe "Groupe des rotations du tétraèdre".

Groupe alterné de degré 5[modifier | modifier le code]

Les caractères du groupe alterné de degré 5 sont un peu plus délicats à déterminer que le cas précédent, même s'il est possible d'y parvenir sans utiliser une approche générique plus lourde. L'existence de 5 classes de conjugaison montre qu'il existe 5 représentations irréductibles. La table des caractères est la suivante[15] :

Car. irr. 1 (ab)(cd) (abc) (abcde) (abced)
t 1 1 1 1 1
σ1 3 –1 0 (1 + 5)/2 (1 – 5)/2
σ2 3 –1 0 (1 – 5)/2 (1 + 5)/2
φ 4 0 1 –1 –1
ψ 5 1 –1 0 0

Les caractères de ces représentations sont tous réels. Chacune de ces représentations s'incarne sur un espace vectoriel réel (cf. Caractère d'une représentation d'un groupe fini). Cette remarque s'applique, en particulier, sur les représentations de dimension 3. Le paragraphe "Groupe des rotations du dodécaèdre" montre qu'une telle représentations correspond à un groupe de symétrie d'un solide de Platon.

Groupe des rotations d'un polyèdre régulier[modifier | modifier le code]

Représentation et géométrie[modifier | modifier le code]

Les groupes A4 et A5 admettent des représentations de dimension 3 réelles. Ces représentations sont composées d'automorphismes qui peuvent être vus comme des isométries si l'espace vectoriel E de dimension 3 est équipé du bon produit scalaire. En effet, si G est le groupe des automorphismes, et (.|.) un produit scalaire quelconque de E, alors le produit scalaire <., .> suivant confère le statut d'isométrie aux éléments de G :

\forall x,y \in E\quad \langle x,y\rangle = \frac 1{|G|} \sum_{g\in G} (gx|gy)

Ici, |G| désigne l'ordre du groupe G. Un élément de G est une isométrie car la translation à droite est une bijection. Ainsi, si h est un élément de G, l'ensemble des éléments g.h, si g décrit G, est exactement le groupe G.

Ces isométries sont toutes des rotations car leur déterminant est égal à 1. Pour n égal à 4, il suffit de remarquer que la représentation est obtenue par restriction d'une représentation de S4, chacune des isométries étant le produit d'un nombre pair d'images de transpositions de déterminant égal à -1. Pour n égal à 5, la preuve est donné dans la construction de la table.

Les représentations de degré 3, pour n égal à 4 ou 5, sont fidèles, c'est-à-dire qu'elles sont injectives. Pour s'en persuader, il suffit de remarquer que ces représentations possèdent des caractères qui ne prennent la valeur 3 que pour l'identité (qui est l'image de l'élément neutre). Ces différentes propriétés permettent de concevoir ces représentations de dimension 3 comme des groupes de rotations d'un polyèdre régulier.

Groupe des rotations du tétraèdre[modifier | modifier le code]

Le groupe des rotations du tétraèdre est isomorphe à A4

Si n est égal à 4, la représentation est obtenue en restreignant une représentation irréductible de degré 3 du groupe symétrique, décrite dans l'article Représentations du groupe symétrique. Le groupe G est engendré par les deux automorphismes ayant les matrices suivantes dans une base orthonormale :

M_{123} = \begin{pmatrix} 0 & 0 & -1 \\ 1  & 0 & 0 \\ 0 & -1 & 0 \end{pmatrix} \quad\text{et}\quad
              M_{234} = \begin{pmatrix} 0 & 1 & 0  \\ 0  & 0 & 1 \\ 1 &  0 & 0 \end{pmatrix}

Soient φ234 l'automorphisme de matrice M234 et s un vecteur non nul de l'axe de la rotation φ234. On peut, par exemple choisir s comme le point de coordonnées (1, 1, 1). Soit S l'orbite de s, c'est-à-dire l'ensemble des points g(s), si g parcourt le groupe G. L'ensemble S est globalement stable par l'action de G. On définit le polyèdre comme l'enveloppe convexe de S, qui fournit les sommets du polyèdre recherché. Ce polyèdre est un tétraèdre régulier et son groupe des rotations est exactement égal à G.

Groupe des rotations du dodécaèdre[modifier | modifier le code]

Le groupe des rotations du dodécaèdre régulier est isomorphe à A5.
Le groupe des rotations de l'icosaèdre régulier possède la même propriété.

Le groupe A5 possède aussi une représentation irréductible d'ensemble d'arrivée G et de dimension 3. Un raisonnement, analogue à celui du paragraphe précédent, montre que le groupe des rotations d'un dodécaèdre régulier est isomorphe à G. Ceci revient à dire que le groupe des rotations du dodécaèdre régulier est isomorphe au groupe alterné de degré 5.

Le groupe G, qui laisse globalement invariant le dodécaèdre D laisse aussi globalement invariant l'ensemble des centres des faces du dodécaèdre. Le polyèdre, ayant pour sommets les centres des différentes faces de D, est un icosaèdre régulier. Il existe ainsi deux polyèdres réguliers ayant un groupe de rotations isomorphe à A5. La technique consistant à construire un nouveau polyèdre à partir des centres des faces est appelé polyèdre dual. Si un groupe d'isométries laisse invariant un polyèdre, le raisonnement utilisé ici montre qu'il laisse toujours invariant son dual.

Il existe deux manières de procéder. la première suppose connue la structure du dodécaèdre régulier et l'objectif est de montrer que son groupe des rotations est isomorphe à A5. Une méthode simple de procéder est de remarquer qu'il existe 5 cubes de sommets choisis parmi les sommets du dodécaèdre régulier. Le groupe des rotations opère librement sur l'ensemble de ces 5 cubes. Il est donc isomorphe à un sous-groupe de S5. On remarque ensuite que le groupe des rotations contient 60 éléments. En effet, comme le dodécaèdre contient 20 sommets, il existe 20 manières différentes de positionner un sommet. Une fois le sommet positionné, il reste encore trois manière de positionner une arête contenant ce sommet car chaque sommet est élément de trois arêtes. L'ordre du groupe des rotations est 20 que multiplie 3, c'est-à-dire 60. Un sous-groupe de 60 éléments dans S5 est nécessairement distingué car il peut être vu comme le noyau du morphisme qui associe 1 à un élément du sous-groupe et -1 aux autres éléments. Il n'existe qu'un unique sous-groupe distingué non trivial dans S5 c'est A5, ce qui montre l'isomorphisme recherché[15].

Une autre manière de procéder est d'utiliser la représentation de dimension 3 du groupe alterné pour construire le dodécaèdre et en déterminer les paramètres. Elle est proposée dans la boîte déroulante.

Notes et références[modifier | modifier le code]

  1. C'est par exemple la définition donnée dans Groupe alterné sur bibmath.net.
  2. C'est par exemple le choix de : N. Lanchier, Groupe des permutations d’un ensemble fini. Applications., Université de Rouen.
  3. C'est le choix par exemple de M. Hindry, Liste des groupes simples finis, Université Paris 7.
  4. Y. Ladegaillerie, « Ordres liés au groupe symétrique », dans CRAS, sér. A, t. 271, 1970, p. 137-140, parle en introduction du « groupe symétrique d'ordre n ».
  5. Cette définition est utilisée dans Adrien Douady et Régine Douady, Algèbre et théories galoisiennes,‎ 2005 [détail de l’édition], p. 318
  6. Cité par Édouard Lucas, dans Récréations mathématiques, 1891, rééd. Blanchard, 1992 (ISBN 2853671232), p. 190
  7. La démonstration proposée ici provient de M. Coste Jeu de taquin et générateurs du groupe alterné Université de Rennes 1 (2008)
  8. (en) W. R. Scott, Group Theory, Dover, 1987 (ISBN 0486653773), p. 299
  9. R. Bédard, Représentation des groupes, UQAM,‎ 2008 (lire en ligne), p. 76.
  10. a et b M. Hindry, Cours d'algèbre au magistère de Cachan, Université Paris 7, p. 22
  11. (en) J. S. Rose, A Course on Group Theory, Cambridge 1978, réimpr. Dover, 1994, théor. 5.30, p. 106. Soit G un groupe simple d'ordre 60. L'essentiel de la démonstration consiste à montrer, en considérant l'opération de G sur ses 2-sous-groupes de Sylow, que G est isomorphe à un sous-groupe de S5.
  12. Cet exemple provient de A. et R. Douady 2005, p. 322.
  13. En fait, un polynôme de la forme Xn+aX±1 est irréductible sur ℚ dès que la valeur absolue de l'entier a est supérieure ou égale à 3 : (de) O. Perron, « Neue Kriterien für die Irreduzibilität algebraischer Gleichungen », dans J. reine angew. Math., vol. 132, 1907, p. 288-307.
  14. Bédard 2008, p. 29
  15. a et b Bédard 2008, p. 78

Bibliographie[modifier | modifier le code]