Dérivabilité

Une fonction réelle d'une variable réelle est dérivable en un point si, et seulement si, elle admet une dérivée en ce point. Elle est dérivable sur un intervalle si, et seulement si, elle admet une dérivée en tout point de cet intervalle.

La dérivabilité se démontre usuellement de deux façons :

• Dans l'étude locale (c-a-d en un point ou plusieurs points), en utilisant directement la définition de l'existence d'une dérivée à l'aide de limites. Ainsi, $f$ est dérivable sur l'intervalle $I$ si, et seulement s'il existe une application $\scriptstyle f'$ de $I$ dans ℝ telle que pour tout élément $a$ de $I$ :

$f'(a)=\lim_{x\to a}\frac{f(x)-f(a)}{x-a}$

ou, ce qui est équivalent :

$f'(a)=\lim_{h\to 0}\frac{f(a+h)-f(a)}h$

• Dans l'étude globale, en utilisant les propriétés des dérivées pour montrer que $f$ est un assemblage de fonctions connues et dérivables sur un intervalle donné. Par exemple, $f(x)=e^x-\sqrt{3+\sin x}$.

La dérivabilité entraîne la continuité, mais la réciproque est fausse, comme le montrent les exemples ci-dessous.

Les fonctions de classe C¹ sont des fonctions dérivables dont la dérivée est continue.

Quelques exemples de fonctions dérivables

Ces fonctions sont dérivables sur tout intervalle réel où elles sont définies :

• les fonctions polynomiales comme $x^3 + 2x^2 + 1$. Dans cet exemple, la dérivée est $3x^2+4x$
• les fonctions exponentielle et logarithme
• les fonctions trigonométriques sinus, cosinus

Ces fonctions sont dérivables sauf sur un ensemble "exceptionnel" :

• une fonction convexe sur un intervalle $I\,$ est dérivable sauf sur un ensemble dénombrable :

elle admet en effet une dérivée à droite et à gauche en tout point de l'intérieur de $I\,$, et l'ensemble des points où elles diffèrent est dénombrable.

• une fonction monotone, et plus généralement une fonction à variation bornée, est dérivable presque partout.

Exemples de fonctions non dérivables

Les fonctions suivantes ne sont pas dérivables sur $\mathbb{R}$, l'ensemble des réels :

• une fonction qui n'est pas continue en un point n'y est pas non plus dérivable ;
• la fonction continue valeur absolue qui admet en 0 une dérivée à droite différente de sa dérivée à gauche ;
• plus généralement, on peut prolonger par continuité une primitive d'une fonction non continue si les limites à gauche et à droite existent en chaque point de discontinuité : la fonction obtenue est continue, mais non dérivable en ces points ; par contre, elle y est dérivable à gauche ou à droite ;
  • une primitive de la fonction partie entière, non dérivable aux abscisses dans $\mathbb{N}$, mais dérivable à gauche et à droite en ces points ;
  • une primitive de la fonction partie décimale, idem ;
  • une primitive de la fonction signe, idem ;
• la fonction $f(x)= x\sin\frac1x\,$ qui, non définie en $x =0\,$, se prolonge par continuité en $0\,$ si on pose $f(0)=0\,$.

Elle n'est pas dérivable en 0.

En effet, $\frac{f(x)}x=\sin\frac1x\,$ ne converge pas lorsque $x \,$ tend vers 0. Pour le voir, il suffit de considérer la suite :$x_n=\frac{1}{(2n+1)\frac{\pi}{2}}\,$, qui tend vers zéro alors que $\sin\frac{1}{x_n}=(-1)^n\,.$

• 

  La primitive d'une fonction en créneaux est continue mais non dérivable

• 

  La primitive de la fonction partie décimale est continue mais non dérivable

• 

  La primitive de la partie entière est continue mais pas dérivable

• 

  x·sin(1/x), continue en 0 mais pas dérivable à gauche ni à droite

• la fonction de Weierstrass : $f(x)=\sum_{n=0}^\infty a^n\cos(b^n x).$

Si $\vert a\vert <1$ on a une série de fonctions continues qui converge uniformément et $f\,$ est donc continue.

Mais si $\vert ab\vert >1$, cette fonction n'est nulle part dérivable.

• observant des trajectoires de particules de pollen suivant un mouvement brownien, le physicien Jean Perrin aurait dit que ces trajectoires évoquaient irrésistiblement les fonctions non dérivables des mathématiciens. Il voyait juste : il a été démontré plus tard que, pour la mesure de Wiener, presque toutes les trajectoires du mouvement brownien sont non dérivables.

Généralisations

• Modification de l'ensemble d'arrivée

La définition s'étend telle quelle aux fonctions à valeurs dans ℝⁿ ou plus généralement dans un espace vectoriel normé. La dérivée est alors un vecteur, qui, en dimensions 2 et 3 peut s'interpréter comme une vitesse.

• Fonctions d'une variable complexe

On définit encore de la même façon la dérivée d'une application de ℂ dans ℂ. Il s'avère que la situation est profondément différente du cas réel, voir analyse complexe

Voir aussi

• Dérivation itérée
• Fonction continue nulle part dérivable