Théorème de Minkowski

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En mathématiques, le théorème de Minkowski est un résultat concernant la géométrie des réseaux. Il relie le nombre de points du réseau contenu dans une partie convexe symétrique au volume fondamental du réseau.

Ce théorème est en particulier utilisé en théorie algébrique des nombres. Si K est un corps de nombres, c'est-à-dire une extension finie du corps ℚ des nombres rationnels, un anneau d'entiers algébriques de K a pour groupe additif un réseau. Le caractère géométrique d'un réseau offre des techniques de démonstrations, utilisées par exemple pour établir le fait que le groupe des classes d'idéaux est fini, ou encore pour déterminer la structure du groupe des unités de l'anneau.

Ce résultat a été découvert par Hermann Minkowski en 1891[1] et publié en 1896 dans son livre de géométrie des nombres[2].

Énoncés[modifier | modifier le code]

Première formulation —  Soit d un entier strictement positif et C un convexe de ℝd, symétrique par rapport à l'origine et de volume strictement supérieur à 2d. Le convexe C contient au moins deux points à coordonnées entières et différents de l'origine.

Il est possible d'exprimer ce résultat en termes du réseaud et même (par simple changement de base) d'un réseau quelconque Λ.

Formulation en termes de réseau —  Soit d un entier strictement positif, Λ un réseau de ℝd de volume fondamental V et C un convexe symétrique par rapport à l'origine de volume strictement supérieur à 2dV. Le convexe C contient au moins deux points non nuls du réseau.

Cas où C est compact —  Avec les mêmes hypothèses que celle du théorème précédent, si C est compact et de volume égal à 2dV, le convexe C contient encore au moins deux points non nuls du réseau.

Interprétation géométrique[modifier | modifier le code]

Article détaillé : Réseau (géométrie).
Exemple de réseau dans ℝ3.
Exemple de convexe traité par le théorème de Minkowski.

Un réseau est un sous-groupe discret du groupe additif ℝd. Une telle structure est nécessairement un ℤ-module admettant une base B. Pour s'en convaincre, il suffit d'étudier les propriétés d'un groupe abélien de type fini. Un ℤ-module est un quasi espace vectoriel. Les scalaires sont munis d'une structure d'anneau commutatif et non de corps. Par définition d'un réseau, la base est de cardinal d et est aussi une base de ℝd en tant qu'espace vectoriel sur ℝ. Le réseau est composé des points dont les coordonnées dans la base B sont entières. On obtient un maillage régulier de l'espace, à l'image de la figure de gauche. Les points du réseau sont représentés par les petites billes. Un exemple de réseau est formé des points à coordonnées entières dans la base canonique de ℝd. Le premier énoncé est ainsi un cas particulier du deuxième.

Un domaine fondamental est constitué des points dont les coordonnées dans la base B sont dans l'intervalle [0, 1[, le volume fondamental est le volume du domaine fondamental. Dans l'exemple précédent, il est égal à 1. Il est illustré sur la figure de gauche en rouge. Un domaine fondamental est toujours un parallélépipède.

Dire que le convexe C est symétrique par rapport à l'origine signifie que si le vecteur α est élément du convexe, alors -α est aussi élément du convexe. La figure de droite représente un tel ensemble, si le point bleu représente l'origine. Il ne contient aucun autre point du réseau que l'origine, le théorème affirme que son volume est inférieur à 23 soit 8 fois le volume fondamental. En effet, dans l'exemple d est égal à 3.

La forme du convexe donné en exemple n'est pas le fruit du hasard, on la trouve en théorie algébrique des nombres. Elle correspond à une boule pour une métrique choisie dans le cas d'un anneau d'entiers algébriques de degré 3 ayant un plongement réel et deux imaginaires (cf. groupe des classes d'idéaux). Une démonstration clé utilise le théorème un théorème connexe sur un convexe de cette forme.

Démonstrations[modifier | modifier le code]

Remarques liminaires[modifier | modifier le code]

La valeur 2dV est bien la plus petite possible pour que le théorème soit vrai.
Si deux des volumes homothétiques de C d'un rapport 1/2 translatés par les points du réseau se rencontrent, alors C contient un point non nul du réseau.

On peut remarquer dans un premier temps que la valeur 2dV est bien la plus petite possible. En effet, l'ensemble des vecteurs de coordonnées dans la base B strictement comprises entre –1 et 1, ne contient que l'origine comme point du réseau. Le volume de ce convexe est égal à 2dV. Cette situation est illustrée sur la figure de gauche, le point bleu représente l'origine.

Démontrons le lemme suivant :

Lemme —  Soit Ck l'image du convexe par l'homothétie de rapport k et α et β deux vecteurs distincts du réseau. Si α + C1/2 et β + C1/2 sont non disjoints, alors C contient un point non nul du réseau.

On suppose qu'il existe deux points distincts du réseau α et β tels que α + C1/2 et β + C1/2 aient un point d'intersection : α + x = β – yx et –y sont deux points de C1/2 (c'est ce qui est illustré sur la figure de droite, avec α nul — ce que l'on peut toujours supposer, quitte à translater par –α). On en déduit que x + y est égal à β – α (élément non nul du réseau), avec 2x et –2y éléments de C donc (comme C est symétrique par rapport à l'origine) 2x et 2y aussi et (par convexité de C) leur milieu x + y aussi. Donc, si l'intersection de α + C1/2 et β + C1/2 est non vide, C contient un point non nul du réseau (et même deux, car son opposé est aussi élément de C).

Démonstration directe[modifier | modifier le code]

Notons D le parallélépipède constitué des points de ℝd dont les coordonnées dans une base du réseau appartiennent à l'intervalle [0, 1[. C1/2 est donc la réunion disjointe de ses intersections avec les –α + D, où α parcourt le réseau ; or une telle intersection a même volume que sa translatée (α + C1/2)∩D. Si toutes ces translatées sont disjointes, on a donc

2^{-d}{\rm vol}(C)={\rm vol}(C_{1/2})=\sum_{\alpha\in\Lambda}{\rm vol}(C_{1/2}\cap(-\alpha+D))=\sum_{\alpha\in\Lambda}{\rm vol}((\alpha+C_{1/2})\cap D)\le{\rm vol}(D)=V.

Par contraposée, si le volume de C est strictement supérieur à 2dV, au moins deux de ces translatées, (α + C1/2)∩D et (β + C1/2)∩D, ont un point commun. D'après le lemme, C contient alors un point non nul du réseau, ce qui termine la démonstration[3].

La géométrie de l'espace ℝd quotienté par le réseau est un tore de dimension d.
Illustration de la preuve dans le plan : Les deux points X et Y dans C1/2 (en jaune) fournissent Z=X-Y, point du réseau dans le convexe C (en vert)

Il existe une manière d'interpréter cette démonstration en termes de groupe topologique. L'espace ℝd peut être vu comme un groupe et le réseau un sous-groupe. Quotienter l'espace par le réseau revient à identifier chaque élément de ℝd avec un élément du domaine fondamental. En dimension 2, cela revient à coller les points du domaine fondamental (la maille du réseau), dont la première coordonnée est égale à 1 avec ceux dont la première coordonnée est égale à 0, et agir de même avec la deuxième coordonnée. On obtient un tore de dimension d, illustré pour d = 2 par la figure de gauche. Chaque point de ℝd possède un voisinage tel que l'application canonique de ℝd dans le tore se restreigne en un difféomorphisme entre ce voisinage et son image. Ces difféomorphismes permettent de définir une mesure sur le tore, tel que tout espace mesurable du domaine fondamental soit mesurable sur le tore et de même mesure. La mesure du tore est celle du volume fondamental V.

Cette mesure est l'outil de la démonstration directe. On suppose que le convexe C, illustré en vert dans l'exemple de droite, est de mesure strictement supérieure à 2dV. Son image C1/2, illustrée en jaune, par l'homothétie de rapport 1/2, est de mesure strictement supérieure à V égal au volume fondamental. La restriction à C1/2 de l'application canonique de ℝd dans le tore ne peut être injective car la mesure de l'image serait supérieure à celle du tore tout entier. Il existe donc deux éléments de C1/2, X et Y (les points x et –y du lemme), ayant même image par cette application.

Lors du recollement expliqué plus haut, des morceaux de C1/2 se trouvent superposés, les points ainsi superposés ont la même image. En revenant à la figure originelle, à l’inverse, la zone d’injectivité correspond à ce qui apparaît encore en jaune dans la figure de droite. Le point X – Y = x + y de C est élément non nul du réseau car X et Y sont deux représentants différents d'une même classe.

Cas compact de volume 2dV[modifier | modifier le code]

On suppose maintenant[3] que C est un convexe compact de volume exactement égal à 2dV. Pour tout entier n > 0, le paragraphe précédent montre l'existence d'un point αn non nul du réseau élément de C1+1/n. La suite (αn) est à valeurs dans l'intersection de C2 et des points non nuls du réseau. Comme cette intersection est un compact discret donc fini, la suite (αn) possède une sous-suite constante. Cette constante α est à la fois un point non nul du réseau et un point adhérent à C. Comme C est fermé, α appartient à C.

Un convexe de volume fini non nul étant borné[4], un convexe fermé de volume exactement égal à 2dV est compact. On peut donc supposer simplement que C est fermé.

Démonstration alternative[modifier | modifier le code]

Le principe de la démonstration consiste à placer des convexes isomorphes à C1/2 en chaque point du réseau et à calculer leur volume.

Il existe plusieurs autres démonstrations du théorème[5]. Celle qui suit est proche de la preuve originale de Minkowski[6]. On se place pour simplifier dans le cas où C est borné. On raisonne encore par contraposée, c'est-à-dire que l'on suppose que C ne contient aucun autre point du réseau que l'origine et l'on montre que le volume S de C est plus petit que 2dV. Pour cela, on considère un entier m strictement supérieur à 0 et Am l'ensemble des points du réseau dont les coordonnées dans la base B sont positives et strictement plus petites que m. À chaque point α de Am on associe le convexe α + C1/2 et Bm est l'union de tous ces convexes, si α parcourt Am. On obtient un volume composé d'une pluralité de convexes translatés de C1/2 comme illustré sur la figure de gauche.

Le lemme précédent montre le volume de Bm est égal au nombre de convexes que multiplie le volume de chacun d'eux, car l'intersection de deux convexes distincts de Bm est vide. Il existe md convexes et chacun possède un volume égal à S/2d car l'homothétie de rapport 1/2 dans un espace de dimension d divise le volume par un facteur 2d.

Soit δ une borne de C1/2, l'ensemble Bm est inclus dans l'image, par une homothétie affine de rapport m + 2δ, du volume fondamental. Ce qui donne la majoration suivante :

(m + 2\delta)^d V \ge m^d S/2^d\quad\text{et}\quad 2^d\left(1+ \frac {2\delta}{m}\right)^d V \ge S

Comme m peut être choisi arbitrairement grand, un passage à la limite montre le résultat voulu.

Applications[modifier | modifier le code]

Ce théorème est habituellement utilisé pour démontrer deux résultats importants en théorie algébrique des nombres : le théorème des unités de Dirichlet, et la finitude du groupe des classes[7].

Une autre application est la démonstration du théorème des quatre carrés de Lagrange[8].

Notes et références[modifier | modifier le code]

  1. (en) Jiří Matoušek, Lectures on Discrete Geometry [détail des éditions], p. 20
  2. (de) Hermann Minkowski, Geometrie der Zahlen, Teubner, Leipzig, 1896 ; republié par Johnson, New York, 1968.
  3. a et b La preuve présentée ici est très classique, on la trouve par exemple sur (en) proof of Minkowski's theorem de PlanetMath.
  4. (en) John W. S. Cassels, An Introduction to the Geometry of Numbers, Berlin, Göttingen, Heidelberg, Springer, coll. « Grundlehren der mathematischen Wissenschaften (de) » (no 99),‎ 1959, 344 p., p. 109.
  5. (de) « Geometrie der Zahlen », dans Encyklopädie der mathematischen Wissenschaften mit Einschluss ihrer Anwendungen, vol. I.2, 27, Leipzig, Teubner,‎ 1954, 84 p. (lire en ligne).
  6. (en) Carl Douglas Olds, Anneli Lax et Giuliana Davidoff, The Geometry of Numbers, Washington, MAA, coll. « The Anneli Lax New Mathematical Library » (no 41),‎ 2000, 174 p. (ISBN 978-0-88385643-7, lire en ligne), p. 69-73.
  7. On trouve un calcul d'un exemple de groupe des classes dans Bas Edixhoven et Laurent Moret-Bailly, Théorie algébrique des nombres, cours de maîtrise de mathématiques, université de Rennes 1,‎ 2004 (lire en ligne), p. 56.
  8. Olds, Lax et Davidoff 2000, p. 114-116.

Voir aussi[modifier | modifier le code]

Articles connexes[modifier | modifier le code]

Lien externe[modifier | modifier le code]

Phong Q. Nguyen, La géométrie des nombres : de Gauss aux codes secrets, École normale supérieure, université Denis Diderot

Bibliographie[modifier | modifier le code]

Pierre Samuel, Théorie algébrique des nombres [détail de l’édition]