Théorème de Helly

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Théorème de Helly dans le plan : si trois quelconques des convexes de la famille se rencontrent alors l'intersection de tous ces convexes est non vide.

Le théorème de Helly est un résultat combinatoire sur les convexes.

Ce résultat a été prouvé en 1913 par Eduard Helly, et il a été publié par Johann Radon en 1921[1],[2].

Énoncé[modifier | modifier le code]

Théorème — On considère X_1,X_2,\dots,X_n une famille finie de n ensembles convexes de R^d (où on suppose que n\geq d+1). On suppose que, pour tout choix de d+1 convexes parmi X_1,X_2,\dots,X_n, ces d+1 convexes se rencontrent. Il existe alors un point qui appartient à tous les X_i.

Il est facile d'étendre le théorème à des familles infinies d'ensembles convexes, en rajoutant une hypothèse de compacité

Corollaire — Si (X_i)_{i \in I} est une collection de sous-ensembles compacts convexes de R^d et que pour toute partie J \subset I finie de cardinal inférieur ou égal à d+1, \bigcap_{j \in J} X_j \ne\varnothing alors l'intersection de tous les X_i est non vide, c'est-à-dire : \bigcap_{i \in I} X_i \ne\varnothing.

Preuves[modifier | modifier le code]

On donne la preuve dans le cas fini (le cas infini se ramène au cas fini par un argument de compacité).

Il y a plusieurs preuves du théorème de Helly[3], mais toutes se prêtent bien à être aiguillées par l'énoncé intermédiaire suivant :

Énoncé intermédiaire — Dans un espace affine de dimension d, soit A=(a_1,\ldots,a_{d+2} ) un d+2-uplet de points. Pour chaque indice i variant entre 1 et d+2, on note \Delta_i=\mathrm{Conv}\left(a_1, \dots, a_{i-1}, a_{i+1}, \ldots, a_{d+2}\right) l'enveloppe convexe des points de A autres que le point a_i.

Il existe alors un point commun aux d+2 simplexes \Delta_i.

Dans tous les modes de démonstration, il y a un travail géométrique un peu subtil à faire pour parvenir à cet énoncé intermédiaire ; en revanche terminer la preuve ne demande pas d'idée bien compliquée.

Commençons donc par le plus facile, en montrant que l'énoncé intermédiaire entraîne le théorème de Helly sous la forme donnée plus haut.

Supposons d'abord que n=d+2. Les hypothèses du théorème assurent l'existence d'un point a_1 qui se trouve dans l'intersection des X_2,X_3,\dots,X_{d+2}.

a_1 \in \bigcap_{i=2}^{d+2} X_i

De la même manière on peut définir pour tout j\in\{1,2,\dots,{d+2}\} un élément a_j dans l'intersection des X_i, i \neq j

a_j \in \bigcap_{i=1, i \neq j}^{d+2} X_i.

Appliquons l'énoncé intermédiaire à ces points : il fournit un point x qui est à la fois dans tous les simplexes \Delta_i. Mais, par définition de \Delta_i, tous les sommets de ce simplexe sont dans X_i. Donc x est un point de X_i pour tout i.

À présent, raisonnons par récurrence : supposons que n>d+2 et que le résultat soit vrai au rang n-1. Le raisonnement précédent montre que toute intersection de d+2 ensembles convexes est non vide. On considère la nouvelle collection obtenue en remplaçant X_{n-1} et X_n par l'ensemble X_{n-1}\cap X_n.

Dans cette nouvelle collection, chaque intersection de d+1 ensembles est non vide. L'hypothèse de récurrence implique donc que l'intersection de cette nouvelle collection est non vide ; mais cette intersection est la même que celle de la collection initiale.

On va maintenant donner plusieurs preuves de l'énoncé intermédiaire.

Première preuve : via le théorème de Radon[modifier | modifier le code]

S'il y a une répétition dans la liste de points (a_1,\ldots,a_{d+2} ), disons a_j = a_k, avec j \neq k, alors a_j est clairement dans l'intersection \bigcap_{i = 1}^{d+2} \Delta_i, et la propriété est prouvée. Sinon, on applique le théorème de Radon à l'ensemble A=\{a_1,a_2,\dots,a_{d+2}\}.

Ce théorème assure l'existence de deux sous-ensembles disjoints A_1,A_2\subset A tels que l'enveloppe convexe de A_1 intersecte celle de A_2. Il existe donc un point x appartenant à l'intersection des deux enveloppes convexes de A_1 et A_2. On va montrer que l'intersection des \Delta_i contient ce point x, ce qui démontrera l'énoncé intermédiaire.

Prenons j\in\{1,2,\dots,{d+2}\}. Si a_j\in A_1, alors a_j\notin A_2, et par conséquent tous les points de A_2 sont des a_k avec k\not= j. Or de tels points sont dans \Delta_j par définition, et donc A_2\subset \Delta_j. Comme \Delta_j est convexe, il contient alors l'enveloppe convexe de A_2 et par conséquent on a : x\in \Delta_j. De la même manière, si a_j\notin A_1, alors A_1\subset \Delta_j, et le même raisonnement donne x\in \Delta_j. Le point x fourni par Radon est donc bien commun à tous les \Delta_i.

Deuxième preuve : via le théorème de Carathéodory[modifier | modifier le code]

On munit l'espace affine d'une structure euclidienne.

Sur le polytope compact enveloppe convexe des points de A=(a_1,\ldots,a_{d+2} ), on considère la fonction continue f définie par :

f(x)=\mathrm{Max}_{1\leq i\leq d+2}\left(d(x,\Delta_i)\right)

puis on prend un point x de ce polytope en lequel elle admet son minimum. Montrer que les simplexes se rencontrent revient donc à montrer que f(x)=0.

Le théorème de Carathéodory assure qu'on peut extraire de A une sous-famille avec seulement d+1 points dont x est barycentre à coefficients positifs, autrement dit qu'il existe un indice i tel que x appartient à \Delta_i. Quitte à renuméroter les points de A, on supposera que x appartient à \Delta_1.

Pour \theta\in[0,1], on va noter x_\theta=(1-\theta)x +\theta a_1 le point courant du segment [x,a_1].

L'idée de la fin de la preuve est alors la suivante : puisque a_1 est dans \Delta_2\cap\cdots\cap\Delta_{d+2}, quand on fait glisser x_\theta le long du segment [x,a_1] en direction de a_1, ce point se rapproche de tous les simplexes \Delta_2,\ldots,\Delta_{d+2}. Par ailleurs, il s'éloigne peut-être de \Delta_1, mais au départ il en était à distance nulle et pour \theta petit il en est encore à distance très petite et donc sans influence sur la valeur f(x_\theta) (puisque c'est un \mathrm{Max}) —du moins si f(x)\not=0. Le résultat de ces observations, c'est que f(x_\theta) commence par diminuer quand \theta augmente en restant suffisamment petit, et diminue même strictement si f(x)\not=0. Ceci contredit la minimalité de f(x).

Troisième preuve : par le théorème de Carathéodory et le lemme de Farkas[modifier | modifier le code]

On va montrer le théorème par l'absurde. Supposons donc l'intersection des \Delta_i vide.

Chacun des simplexes \Delta_i est une intersection d'un nombre fini de demi-espaces. Énumérons la liste complète de ces demi-espaces R_1, R_2,\ldots,R_k de \R^d. On remarque tout de suite que l'intersection des \Delta_i est égale à l'intersection des R_j qui est donc elle aussi vide.

Pour chacun de ces demi-espaces, prenons une forme affine f_j pour laquelle R_j=\{x\in E\,\mid\, f_j(x)\geq 0\}.

Par le lemme de Farkas sous sa forme de critère de consistance pour un système d'inéquations affines, il existe donc une combinaison linéaire à coefficients positifs des f_j égale à la forme constante -1. Dit autrement, il existe un \lambda > 0 tel que -\lambda soit dans l'enveloppe convexe des f_j.

Par le théorème de Carathéodory, il existe une sous-collection d'au plus d+1 de ces f_j qui contienne encore -\lambda dans son enveloppe convexe. En réappliquant le lemme de Farkas (dans ce sens c'est une évidence), l'intersection des R_j correspondants est alors vide.

Pour chacun d'entre eux, prenons un simplexe qu'il contient parmi la liste des \Delta_i : ces simplexes sont au plus d+1 donc se rencontrent par hypothèse. C'est contradictoire.

Application[modifier | modifier le code]

Dans le plan, soient S1, …, Sq des segments portés par q droites parallèles. Si les segments Si admettent trois à trois une sécante commune alors il existe une droite qui les rencontre tous. En effet, en choisissant un repère pour lequel les Si sont parallèles à l'axe Oy, les Xi = { (a,b) | la droite d'équation y = ax+b rencontre Si } sont des convexes de R2 auxquels on peut appliquer le théorème de Helly.

Notes et références[modifier | modifier le code]

  1. (de) Johann Radon, « Mengen konvexer Körper, die einen gemeinsamen Punkt enthalten », dans Math. Ann., 83:113-115, 1921
  2. (en) Jiří Matoušek, Lectures on Discrete Geometry [détail des éditions]
  3. Les deux premières données ci-dessous sont adaptées de l'ouvrage d'Eggleston référencé ci-dessous, p. 33-34 pour la première, qui est celle publiée par Radon, p. 39-40 pour la seconde. La troisième est de Terence Tao qui l'a publiée sur son blog le 30 novembre 2007 et est disponible en ligne.
  • (en) H. G. Eggleston, Convexity, CUP
  • (en) S. R. Lay, Convex Sets and Their Applications, Wiley

Voir aussi[modifier | modifier le code]

Théorème de Kirchberger, par exemple dans (en) Alexander Barvinok, A Course in Convexity, AMS, coll. « GSM (en) » (no 54),‎ 2002 (ISBN 978-0-82182968-4), 21