Théorème de Schwarz

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Le théorème de Schwarz[1] est un théorème portant sur les dérivées secondes d'une fonction de plusieurs variables. Il apparaît pour la première fois dans un cours de calcul différentiel donné par Weierstrass en 1861 auquel assistait alors Hermann Schwarz à Berlin.

Énoncé[modifier | modifier le code]

Il peut s'énoncer ainsi :

Théorème de Schwarz — Soit f, une fonction numérique de n variables, définie sur un ensemble ouvert U de ℝn. Si les dérivées partielles existent à l'ordre p et sont continues en un point x de U, alors le résultat d'une dérivation à l'ordre p ne dépend pas de l'ordre dans lequel se fait la dérivation par rapport aux p variables considérées.

Dans le cas particulier des fonctions de deux variables x et y, on obtient :

\frac{\partial}{\partial x}\left( \frac{\partial f}{\partial y} \right) = \frac{\partial}{\partial y}\left( \frac{\partial f}{\partial x} \right)

Un contre-exemple[modifier | modifier le code]

Le résultat ci-dessus peut tomber en défaut lorsque les hypothèses ne sont pas vérifiées. Un premier contre-exemple, assez compliqué, a été donné par Schwarz lui-même en 1873. Un deuxième contre-exemple, plus simple, est proposé par Peano en 1884[2] :

La fonction f(x,y) ne possède pas de dérivées secondes symétriques en (0,0).

Considérons la fonction :

f(x,y)= \begin{cases}
\frac{x y(x^2-y^2)}{x^2 + y^2} & \text{si }  (x,y) \neq (0,0) \\ 0 & \text{sinon}
\end{cases}

Les dérivées partielles premières sont :

\frac{\partial f}{\partial x}(0,y) = \lim_{x \to 0} \frac{f(x,y)}{x} = -y

et

 \frac{\partial f}{\partial y}(x,0) = \lim_{y \to 0} \frac{f(x,y)}{y} = x

de sorte que

\frac{\partial^2 f}{\partial y \partial x} (0,0) = -1\text{ tandis que }\frac{\partial^2 f}{\partial x \partial y} (0,0) = 1.

Accessoirement, on peut vérifier que pour (x,y)\ne(0,0), les dérivées partielles secondes \frac{\partial^2 f}{\partial x \partial y} et \frac{\partial^2 f}{\partial y \partial x} n'ont pas de limite en (0, 0).

Application du théorème de Schwarz aux formes différentielles exactes[modifier | modifier le code]

Considérons la forme différentielle exacte suivante, où f est une fonction de classe C^2 :

\mathrm df = a(x,y)\,\mathrm dx + b(x,y)\,\mathrm dy

Nous savons alors que :

a(x,y) = \frac{\partial f}{\partial x}(x, y) et b(x,y) = \frac{\partial f}{\partial y}(x, y)

En appliquant le théorème de Clairaut-Schwarz nous en déduisons immédiatement la relation :

\frac{\partial a}{\partial y}(x, y) = \frac{\partial b}{\partial x}(x, y)

(par dérivation et interversion de l'ordre de dérivation). Ceci est donc une condition nécessaire d'exactitude de la forme différentielle. Une forme différentielle vérifiant cette condition nécessaire est dite fermée.

Note et référence[modifier | modifier le code]

  1. En France, il est parfois appelé théorème de Clairaut. cf James Stewart, Analyse. Concepts et contextes, vol. 2. Fonctions de plusieurs variables, De Boeck,‎ 2006 (ISBN 978-2-80415031-0, lire en ligne), p. 764
  2. E. Hairer, G. Wanner, Analysis by its history, Springer (1995), p.314-315

Article connexe[modifier | modifier le code]

Lemme de Poincaré