Fonction carré

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Fonction carré
Représentation x^2 \,
Dérivée \ 2x \,
Primitives  \frac{x^3 }{3} + C \,

La fonction carré est la fonction qui à un nombre réel x associe son carré, noté x2, soit x multiplié par lui-même. Elle introduit les fonctions puissance, c'est une des plus simples d'entre elles.

Propriétés[modifier | modifier le code]

Signe
La première propriété est la positivité de la fonction. En effet quel que soit x réel, y=x\times x, on a forcément deux fois le même signe à droite ; donc y est supérieur ou égal à 0, et s'annule uniquement en 0.
Parité
Vient ensuite la parité de la fonction c'est-à-dire que f(x)=f(-x). En effet avec la remarque précédente (-x)\times(-x)=x\times x.

Résolution d'équation de type x² = a[modifier | modifier le code]

Article détaillé : Racine carrée.

Quand x^2 = a, il y a trois cas possibles :

  • a < 0 : aucune solution dans l'ensemble des réels ;
  • a = 0 : une solution, x = 0 ;
  • a > 0 : deux solutions, x = \sqrt{a} ou x = -\sqrt{a}.

Par exemple, si x^2 = 9 alors x = 3 ou x = -3, car 3^2=(-3)^2=9.

Dérivée[modifier | modifier le code]

La dérivée de la fonction carré est x\mapsto 2x (c'est une fonction linéaire donc impaire). Elle est donc positive sur \mathbb{R}_+, si bien que la fonction carré est croissante sur cet intervalle. À l'inverse, elle est négative sur \mathbb{R}_- donc la fonction carré est décroissante sur cet intervalle.

Intégrale[modifier | modifier le code]

Article détaillé : Méthode de Simpson.

Comme la fonction carré est un polynôme quadratique, la méthode de Simpson est exacte lorsqu'on calcule son intégrale. Pour tout polynôme quadratique P et a et b réels, on a :

\int_{a}^{b} P(x) dx = \frac{b-a}{6}\left[f(a) + 4f\left(\frac{a+b}{2}\right)+f(b)\right]

donc pour la fonction carré définie par f(x)=x^2, on a :

\int_{a}^{b} f(x) dx = \frac{b-a}{3}(a^2+ab+b^2).

Primitive[modifier | modifier le code]

Article connexe : Primitive.

La fonction carré possède comme primitives toutes les fonctions g définies par, pour C une constante :

g(x)=\frac{x^3}{3}+C.

Représentation graphique[modifier | modifier le code]

Représentation graphique de la fonction carré.

Dans un repère orthonormal, la fonction est représentée par une parabole dont le sommet est le point (0,0). L'intégralité de la parabole se situe au-dessus de l'axe des abscisses — ce qui traduit la positivité de la fonction — et la parité est décelable grâce à l'axe de symétrie qu'est l'axe des ordonnées.

La limite de la fonction carré, en plus l'infini et en moins l'infini, est égale à plus l'infini.

Voir aussi[modifier | modifier le code]

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