Fonction carré

La fonction carré est la fonction qui à un nombre réel x associe son carré, noté x², soit x multiplié par lui-même. Elle introduit les fonctions puissance, c'est une des plus simples d'entre elles.

Propriétés

Signe

La première propriété est la positivité de la fonction. En effet quel que soit x réel, $y=x\times x$, on a forcément deux fois le même signe à droite ; donc y est supérieur ou égal à 0, et s'annule uniquement en 0.

Parité

Vient ensuite la parité de la fonction c'est-à-dire que $f(x)=f(-x)$. En effet avec la remarque précédente $(-x)\times(-x)=x\times x$.

Résolution d'équation de type x² = a

Article détaillé : équation du second degré.

Quand $x^2 = a$, il y a trois cas possibles :

• $a < 0$ : Aucune solution dans l'ensemble des réels R (voire solutions irréelles)
• $a = 0$ : Une solution, x = 0
• $a > 0$ : Deux solutions, $x = \sqrt{a}$ ou $x = -\sqrt{a}$

Par exemple, si $x^2 = 9$ alors $x = 3$ ou $x = -3$, car $3^2=(-3)^2=9$.

Cas de $a < 0$ et solutions complexes.

Si $a < 0$, il n'existe aucune solution réelle, c'est-à-dire appartenant à R. Cependant, il existe une ou des solution(s) irréelle(s), c'est-à-dire complexe(s). Supposons que $a = -9$. On a alors :

$a = -1 \times 9$

Sachant que $x^2 = a$, on déduit ce qui suit :

$x = \sqrt{-1 \times 9} = \sqrt{-1} \times \sqrt{9} = 3 \times \sqrt{-1}$

Puisque $\sqrt{-1}$ est une nombre qui n'existe pas, on le remplace par la lettre i, choisie conventionnellement comme le nombre complexe de base et qui désigne donc la racine carrée de -1. Ainsi on a :

$x = 3i$

De façon plus générale, pour $x^2 = a$ et avec $a < 0$, on a $x = \sqrt{|a|} \times i$.

Dérivée

La dérivée de la fonction carré est $2x$, c'est une fonction affine impaire, et une fonction linéaire. Elle est donc positive sur $\mathbb{R}_+$, si bien que la fonction carré est croissante sur cet intervalle. À l'inverse, elle est négative sur $\mathbb{R}_-$ donc la fonction carré est décroissante sur cet intervalle. Comme elle est nulle en zéro, la fonction carré est constante en zéro.

Intégrale

Article détaillé : Méthode de Simpson.

Article connexe : Calcul numérique d'une intégrale.

Comme la fonction carré est un polynôme quadratique, la méthode de Simpson est exacte lorsqu'on calcule son intégrale. Pour tout polynôme quadratique P et a et b réels, on a :

$\int_{a}^{b} P(x) dx = \frac{b-a}{6}\left[f(a) + 4f\left(\frac{a+b}{2}\right)+f(b)\right]$

Donc pour la fonction carré définie par $f(x)=x^2$, on a :

$\int_{a}^{b} f(x) dx = \frac{b-a}{3}(a^2+ab+b^2)$

Primitive

Article connexe : Primitive#Primitives_courantes.

La fonction carré possède comme primitives toutes les fonctions g définies par, pour C une constante :

$g(x)=\frac{x^3}{3}+C$

Représentation graphique

Représentation graphique de la fonction x²

Dans un repère orthonormal, la fonction est représentée par une parabole dont le sommet est le point (0,0). On remarque bien que l'intégralité de la parabole se situe au-dessus de la courbe et la parité est décelable grâce à l'axe de symétrie qu'est l'axe des ordonnées.

La fonction carré étant une fonction paire, sa représentation graphique admet un axe de symétrie qui est l'axe des ordonnées.

La limite de la fonction carré, en plus l'infini et en moins l'infini, est égale à plus l'infini.