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Hypographe de
f
{\displaystyle f}
Soit
f
{\displaystyle f}
fonction définie sur un ensemble
E
{\displaystyle \mathbb {E} }
droite réelle achevée
R
¯
:=
R
∪
{
−
∞
,
+
∞
}
{\displaystyle {\bar {\mathbb {R} }}:=\mathbb {R} \cup \{-\infty ,+\infty \}}
hypographe de
f
{\displaystyle f}
hyp
f
{\displaystyle \operatorname {hyp} \,f}
hyp
f
:=
{
(
x
,
α
)
∈
E
×
R
:
f
(
x
)
⩾
α
}
.
{\displaystyle \operatorname {hyp} \,f:=\{(x,\alpha )\in \mathbb {E} \times \mathbb {R} :f(x)\geqslant \alpha \}.}
L'hypographe strict de
f
{\displaystyle f}
hyp
s
f
{\displaystyle \operatorname {hyp} _{s}\,f}
hyp
s
f
:=
{
(
x
,
α
)
∈
E
×
R
:
f
(
x
)
>
α
}
.
{\displaystyle \operatorname {hyp} _{s}\,f:=\{(x,\alpha )\in \mathbb {E} \times \mathbb {R} :f(x)>\alpha \}.}
L'hypographe permet de transférer aux fonctions des notions définies pour les ensembles. Par exemple, si
E
{\displaystyle \mathbb {E} }
espace vectoriel , l'application
f
:
E
→
R
¯
{\displaystyle f:\mathbb {E} \to {\bar {\mathbb {R} }}}
concave si son hypographe est convexe .
