Hypographe

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Cet article court présente un sujet plus développé dans : Fonction convexe.

Soit f une fonction définie sur un ensemble \mathbb{E} à valeurs dans la droite réelle achevée \bar{\R}:=\R\cup\{-\infty,+\infty\}. L'hypographe de f est l'ensemble noté \operatorname{hyp}\,f et défini par


\operatorname{hyp}\,f := \{(x,\alpha)\in \mathbb{E}\times \R: f(x)\geqslant \alpha\}.

L'hypographe strict de f est l'ensemble noté \operatorname{hyp}_s\,f et défini par


\operatorname{hyp}_s\,f := \{(x,\alpha)\in \mathbb{E}\times \R: f(x)> \alpha\}.

Exemples d'utilisation[modifier | modifier le code]

L'hypographe permet de transférer aux fonctions des notions définies pour les ensembles. Par exemple, si \mathbb{E} est un espace vectoriel, l'application f:\mathbb{E}\to\bar{\R} est concave si son hypographe est convexe.